Función de indicador de $\sigma$-álgebra.

Question

Supongo que $\mathcal{F}$ es una colección de funciones real-valued en $X$ tal que las funciones constantes son en $\mathcal{F}$ y $f + g$, $fg$ y $cf$ se encuentran en $\mathcal{F}$ cuando $f$, $g \in \mathcal{F}$ y $c \in \mathbb{R}$. Supongamos que $f \in \mathcal{F}$ cuando $f_n \to f$ y cada $f_n \in \mathcal{F}$. ¿Definir el function $$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{if }x \in A \\ 0 & \text{if }x \notin A.\end{cases}$$ How do I see that $\mathcal{A} = \{A \subset X: \chi_A \in \mathcal{F}\}$ is a $\sigma$-algebra?

Answer 1

La única dificultad axioma de $\sigma-$álgebras de mostrar sería cierre contable de uniones e intersecciones. Sin embargo, esto se deduce del hecho de que $\mathcal{F}$ es cerrado bajo pointwise límites (es decir,$f_n \in \mathcal{F}\ \forall n \implies \lim f_n = f \in \mathcal{F}$).

Para demostrar que este es el caso, utilizar los hechos de que para los dos conjuntos de $A$ y $B$ $A \cup B$ es $\max \{1_A, 1_B \}$, es decir, $$1_{A \cup B} = \max\{1_A, 1_B \}$$ and $$1_{A \cap B} = \min\{1_A, 1_B\}$$ This can then be extended to finitely many sets, and then the closure under pointwise limits will allow us to show that countable unions and intersection of $A_i$ están incluidos en la colección. También puede ser útil para hacer las secuencias de conjuntos de monotonía en primer lugar, ver, por ejemplo, Un álgebra (de conjuntos) es un sigma álgebra iff es una monotonía de la clase