¿Qué es la convolución de forma intuitiva?

Question

Si la variable aleatoria $X$ has a probability distribution of $f(x)$ and random variable $Y$ has a probability distribution $g(x)$ then $(f*g)(x)$, the convolution of $f$ and $g$, is the probability distribution of $X+Y$. Esta es la única intuición que tengo por lo que la convolución de los medios.

Hay otros intuitiva modelos para el proceso de convolución?

Answer 1

Creo que una de las normas de la intuición dependen fuertemente de fondo. Incluso si una imagen parece poco intuitivo al principio, puede ser útil más tarde.

1. Si usted es un algebrista, yo sugeriría que la operación de multiplicación en el grupo de los anillos o monoid anillos (las más fáciles de ejemplo: el polinomio de anillos).
2. Si te gusta diferencial o integral operadores, te sugiero que convolving con derivados de delta y funciones de Heaviside para darse cuenta de derivadas e integrales.
3. Si te gusta la multiplicación de números grandes (o de alimentación de la serie), de convolución en los lugares (posiblemente con un acarreo) es el proceso mediante el cual se hace.

Answer 2

Entre las cosas que es bueno saber acerca de convolución es que el elemento de identidad para la convolución es la función delta de Dirac $\delta$.

Otra es que si convolución de una función de $f$ with $\delta'$, the derivative of the delta function, you get $f'$. Since convolution is associative, that implies that $f'*g = f*g'$.

Otra es que a menudo la convolución de dos funciones es como bien se comportó como el mejor comportamiento de uno de los dos. Si usted convolución algo con una función uniforme, se obtiene una función suave; si convolución algo con un polinomio, se obtiene un polinomio. En otras palabras, muchas de las clases de "buen comportamiento" de las funciones son ideales en un anillo cuya multiplicación es la convolución.

Así que si usted convolución $f$ with a smooth approximation to Dirac's delta function, you get a smooth approximation to $f$. Pensar acerca de por qué funciona, probablemente, puede arrojar una gran cantidad de intuitiva luz sobre la naturaleza de la convolución.

Answer 3

Las dos primeras cosas que vienen a la mente cuando pienso en 'convolución' son:

1. Es lo que corresponde a la multiplicación en el otro lado de la transformada de Fourier. (Esto ya fue mencionado por Juan D. Cook), funciona en ambos sentidos, por supuesto, $\mathcal F (f*g)=\mathcal F f\cdot \mathcal F g$ and $\mathcal F (f\cdot g)=\mathcal F f* \mathcal F g$. Este hecho es útil cuando se utiliza en combinación con otros hechos simples acerca de la transformada de Fourier (tales como el hecho de que una rectangular función corresponde a sinc y, en el límite, un impulso de Dirac corresponde a una función constante).

2. Imagina una caja negra que recibe un número $x_n$ every second and must output a number $y_n$ every second. (DSP people call it a 'filter' and it's used, for example, to process audio signals in a mobile phone in real-time.) The simplest thing the box could do is to output some function of the current input. The natural next step is to remember the last k inputs and output some function of those k values. One of the simplest functions is a linear combination $$y_n=\sum_i c_i x_{n-i}$$ where $c_i$ is non-zero only for %#%#%\le i<k$. That's a convolution! To generalize, you make the filter remember all previous values and even be clairvoyant. That is, you extend the support of$[c_n]$. Luego, si desea, puede reemplazar los circuitos digitales con las analógicas. Que es, ir de sumar a la integración.

Como un ejemplo de la combinación de estos dos puntos, si el filtro siempre salidas de la media de los últimos k entradas a continuación, es una convolución con la rectangular de la función en el dominio del tiempo, por lo que debe ser una multiplicación con una sinc en el dominio de la frecuencia. Por lo tanto, el promedio de los últimos k valores atenúa las frecuencias altas. (No es de extrañar, pero al menos se ve inmediatamente que la respuesta en frecuencia no es monótono y sólo hay un par de frecuencias que son completamente filtrada).

Answer 4

Recuerdo como estudiante de posgrado que Ingrid Daubechies con frecuencia se refiere a la convolución por un golpe función como la "difuminación" - su efecto en las imágenes es similar a lo que una persona corta de vista de las experiencias de tomar sus gafas (y, de hecho, si uno trabaja a través de la óptica geométrica, de convolución no es una mala primera aproximación para este efecto). He encontrado esto para ser muy útil, no sólo para la comprensión de la convolución per se, sino como una lección que uno debe tratar de utilizar la intuición física para modelar conceptos matemáticos cada vez que uno puede.

Más generalmente, si uno piensa en funciones como dudosas versiones de puntos, luego de convolución es la confusa versión de la suma (o, a veces, multiplicación, dependiendo del contexto). La probabilística de la interpretación es un ejemplo de este (donde el fuzz es una distribución de probabilidad), pero también han firmado, de valores complejos, o el vector de valores de fuzz, por supuesto.

Answer 5

¿Cuál es el operador $C\_f\colon g\mapsto f*g$? Consider the translation operator $T\_y$ defined by $T\_y(g)(x)=g(x-y)$, and look at $f*g(x)=\int_{\mathbb{R}}f(y)g(x-y)dy$. Rewriting this as an operator by taking out $g$, you end up with the operator equation $$C\_f=\int_{\mathbb{R}}f(y)T\_ydy.$$ Esta es sólo formalmente correcta, por supuesto, pero aproximadamente se dice que la convolución con $f$ es una combinación lineal de la traducción de los operadores, la integral de una especie de generalizada suma.

Vinculando esto con Terry Tao de la respuesta, que llegó mientras yo estaba escribiendo el anterior, si $f$ is a bump function, say nonnegative, with integral equal to 1 and concentrated near the origin, then $f*g$ is a (generalized) linear combination of translates of $g$, cada uno de ellos traducidos a sólo una corta distancia, por lo tanto el blurryness del resultado.