Ley de los grandes números

Question

Podrias por favor ayudar con la prueba de la proposición:

Que $G(\cdot)$ ser acotada y continua, estrictamente creciente función en $\mathbb{R}.$ % Let ${\xi_t},\, t\in\mathbb{Z}_+$i.i.d variables de al azar.

¿Sería cierto que nos encontramos algo parecido a la ley de grandes números uniformes? ¿Por qué? $ \sup_{x\in\mathbb{R}}\;\left|\;n^{-1}\sum_{t=1}^n G(x+\xi_t) - \mathbf{E}G(x+\xi_1)\;\right| \stackrel{P}\longrightarrow 0, \quad n\to\infty. $$

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Probablemente una aplicación de Glivenko-Cantelli del teorema como ya he sugerido en los comentarios va a trabajar.

Suponga que el $\xi_t$ se definen en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F,\mu)$. Podemos suponer que $G$ es la función de distribución acumulativa de una verdadera valores de variable aleatoria. Deje $(\eta_t,t\in\Bbb Z)$ ser una colección de variables aleatorias independientes con función de distribución acumulativa $G$, definido en $(\Omega',\mathcal G,\nu)$. El uso de Glivenko-Cantelli del teorema para el espacio del producto y de la familia de yo.yo.d. variables aleatorias $(\xi_t-\eta_t,t\in\Bbb Z)$ da $$\sup_{u\in\Bbb R}\left|\frac 1n\sum_{i=1}^n\chi_{\{\eta_i(\omega')-\xi_i(\omega)\leqslant u\}}-\mu\otimes\nu\{\eta_i(\omega')-\xi_i(\omega)\leqslant u\}\right|\to 0$$ para $\mu\otimes\nu$ casi todos los $(\omega,\omega')$. Luego de integrar con respecto a $\nu$.

Un enfoque alternativo sería utilizar el resultado del papel

Ramon van Handel, El universal de Glivenko-Cantelli de la propiedad, el Probab. Th. Rel. Campos 155, 911-934 (2013)

que está disponible aquí. Consideramos $\mathcal F:=\{t\mapsto G(x+t), x\in\Bbb R)\}$, que es un Glivenko-Cantelli clase como $G$ está acotada. Pero parece bastante excesivo para este problema, ya que su resultado es más general.