Si existe una secuencia tal que $g(x_n)=f(x_{n+1})$ entonces tenemos $g(x_0)=f(x_0)$ para algunos $x_0$

Question

Supongamos que $f(x)$ y $g(x)$ son funciones continuas sobre $[a,b]$ con $f$ monótona creciente. Supongamos que existe una secuencia $x_n \in [a, b]$ tal que para todo $n \in N$ , $g(x_n) = f(x_{n+1})$ . Demuestre que existe $x_0 \in [a,b]$ tal que $g(x_0) = f(x_0)$ .

¿Puede alguien proporcionar un ejemplo de funciones que cumplan esta condición?

Answer 1

Si hay un $n$ tal que $g(x_n)=f(x_n)$ hemos terminado. Así que vamos a suponer que $g(x_n)\ne f(x_n)$ para cada $n$ .

Ahora bien, si $g(x_n)>f(x_n)$ y $g(x_{n+1})<f(x_{n+1})$ entonces la continuidad de $f$ y $g$ implica que y $x$ tal que $f(x)=g(x)$ existe en algún lugar entre $x_n$ y $x_{n+1}$ .

El caso que $g(x_n)<f(x_n)$ y $g(x_{n+1})>f(x_{n+1})$ es básicamente lo mismo.

Así que los dos únicos casos que quedan son:
A. $(\forall n) g(x_n)>f(x_n)$
B. $(\forall n) g(x_n)<f(x_n)$

Analicemos el caso A. (El caso B es similar).

Para cada $n$ tenemos $f(x_n)<g(x_n)=f(x_{n+1})$ . Desde $f$ es creciente, esto implica $x_n<x_{n+1}$ es decir, la secuencia $(x_n)$ es monótona.

Toda secuencia acotada monótona debe tener un límite, por lo que existe un $x$ tal que $$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=x.$$ Ahora obtenemos, utilizando la continuidad de $f$ y $g$ que $$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty} f(x_{n+1})=\lim\limits_{n\to\infty} g(x_n)=g(x).$$

Answer 2

Sugerencia Demostrar que existe una subsecuencia monótona $\{a_{n_k}\}$ y que sea $n_0$ el límite de esa subsecuencia.