¿Cómo puedo convencer a alguien de que $1+1=2$ no es necesariamente cierto?

Question

Mi amigo y yo discutíamos sobre este "hecho" que todos conocemos y apreciamos. Sin embargo, sé que $1+1=2$ es un axioma. Por eso no estoy de acuerdo. Ninguno de nosotros tiene los conocimientos matemáticos necesarios para convencer al otro.

Y por eso, decidimos acudir a Math Stackexchange en busca de ayuda.

¿Cuál sería la opinión de Stack?

Answer 1

Parece que tú y tu amigo carecéis de conocimientos matemáticos para manejar este delicado punto. ¿Qué es una prueba? ¿Qué es un axioma? ¿Qué son $1,+,2,=$ ?

Bueno, permítanme tratar de ser conciso sobre las cosas.

• Una demostración es una breve secuencia de deducciones a partir de axiomas y suposiciones, en la que en cada paso deducimos información de nuestros axiomas, nuestras suposiciones y oraciones previamente deducidas.

• Un axioma es simplemente una suposición.

• $1,+,2,=$ son sólo letras y símbolos. Solemos asociar $=$ con la igualdad; es decir, dos cosas son iguales si y sólo si son la misma cosa. En cuanto a $1,2,+$ tenemos una comprensión natural de lo que son, pero es importante recordar que son sólo letras que pueden utilizarse en otros lugares (y se utilizan en otros lugares, a menudo).

Quieres demostrarle a tu amigo que $1+1=2$ donde esos símbolos se interpretan tal y como se perciben de forma natural. $1$ es la cantidad de manos unidas al brazo sano de un ser humano; $2$ es el número de brazos que tiene un ser humano sano; y $+$ es el sentido natural de la adición.

De lo anterior, lo que se quiere demostrar, matemáticamente, es que si uno es un ser humano sano tiene exactamente dos manos.

Pero en matemáticas no hablamos de manos y brazos. Hablamos de objetos matemáticos. Necesitamos un marco adecuado, y necesitamos axiomas para definir las propiedades de estos objetos. En el caso de los números naturales, que incluyen $1,2,+$ y así sucesivamente, podemos utilizar el Axiomas de Peano (PA). Estos axiomas son comúnmente aceptados como la definición de los números naturales en las matemáticas, por lo que tiene sentido elegirlos.

No quiero hacer una exposición completa de PA, así que sólo utilizaré la parte que necesito de los axiomas, la que habla de la adición. Tenemos tres símbolos primarios en el lenguaje: $0, S, +$ . Y nuestros axiomas son:

1. Por cada $x$ y para cada $y$ , $S(x)=S(y)$ si y sólo si $x=y$ .
2. Por cada $x$ o bien $x=0$ o hay algún $y$ tal que $x=S(y)$ .
3. No hay $x$ tal que $S(x)=0$ .
4. Por cada $x$ y para cada $y$ , $x+y=y+x$ .
5. Por cada $x$ , $x+0=x$ .
6. Por cada $x$ y para cada $y$ , $x+S(y)=S(x+y)$ .

Este axioma nos dice que $S(x)$ debe pensarse como $x+1$ (el sucesor de $x$ ), y nos dice que la suma es conmutativa y qué relaciones guarda con la función sucesora.

Ahora tenemos que definir qué son $1$ y $2$ . Bueno, $1$ es una abreviatura de $S(0)$ y $2$ es una abreviatura de $S(1)$ o $S(S(0))$ .

¡Por fin! Podemos escribir una prueba de que $1+1=2$ :

1. $S(0)+S(0)=S(S(0)+0)$ (por el axioma 6).
2. $S(0)+0 = S(0)$ (por el axioma 5).
3. $S(S(0)+0) = S(S(0))$ (por la segunda deducción y el axioma 1).
4. $S(0)+S(0) = S(S(0))$ (de la primera y tercera deducción).

Y eso es lo que queríamos demostrar.

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Tenga en cuenta que el contexto es muy importante. Somos libres de definir los símbolos para que signifiquen lo que queramos. Podemos definir fácilmente un nuevo contexto y un nuevo marco en el que $1+1\neq 2$ . Al igual que podemos inventar un lenguaje completamente nuevo en el que Adiós es una palabra para saludar a la gente cuando la conoces, y Hola es una palabra para saludar a la gente cuando se va.

Para ver que $1+1\neq2$ en algunos contexto, basta con definir los siguientes axiomas:

1. $1\neq 2$
2. Por cada $x$ y para cada $y$ , $x+y=x$ .

Ahora podemos escribir una prueba de que $1+1\neq 2$ :

1. $1+1=1$ (el axioma 2 se aplica para $x=1$ ).
2. $1\neq 2$ (axioma 1).
3. $1+1\neq 2$ (de la primera y segunda deducción).

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Si has leído hasta aquí, puede que también te interese leer esto:

1. ¿Cómo se puede demostrar matemáticamente que $1+1 = 2$ ?
2. ¿En qué se basa una prueba?
3. ¿En qué se diferencia un sistema de axiomas de un sistema de creencias?

Answer 2

Aquellos que estén interesados en llevar esta cuestión más atrás de lo que lo hizo Asaf Karagila (mucho más allá de la lógica y en el pantano de la filosofía) pueden estar interesados en los siguientes comentarios que fueron escritos en 1860 (la referencia completa está más abajo). Además, aunque el tratamiento de Asaf lo evita aquí, hay ciertas cuestiones al definir la adición de números naturales en términos de la operación de sucesión que a menudo se pasan por alto. Véase mi 22 de noviembre de 2011 y 28 de noviembre de 2011 mensajes en el grupo Math-teach del Foro de Matemáticas.

$[\ldots]$ Considera este caso. Hay un mundo en el que, siempre que dos pares de cosas se colocan en la proximidad o se contemplan juntos, una quinta cosa es inmediatamente creada y traída dentro de la contemplación de la mente dedicada a poner dos y dos juntos. Esto no es ciertamente inconcebible, ya que podemos concebir fácilmente el resultado pensando en los trucos comunes de los rompecabezas, ni puede decirse que esté más allá del poder de la Omnipotencia, sin embargo, en tal mundo seguramente dos y dos harían cinco. Es decir, el resultado para la mente de contemplar dos dos sería contar cinco. Esto demuestra que no es inconcebible que dos y dos hagan cinco; pero, por otra parte, es perfectamente fácil ver por qué en este mundo estamos absolutamente seguros de que dos y dos hacen cuatro. Probablemente no hay un instante de nuestra vida en el que no experimentemos este hecho. Lo vemos siempre que contamos cuatro libros, cuatro mesas o sillas, cuatro hombres en la calle, o las cuatro esquinas de un adoquín, y nos sentimos más seguros de ello que de la salida del sol mañana, porque nuestra experiencia sobre el tema es mucho más amplia y se aplica a un número infinitamente mayor de casos.

El pasaje anterior proviene de:

James Fitzjames Stephen (1829-1894), Revista de Henry Longueville Mansel (1820-1871), Metafísica; o, la filosofía de la conciencia, fenomenal y real (1860), La revista del sábado 9 #244 (30 de junio de 1860), pp. 840-842. [ver página 842 ]

La reseña de Stephen sobre el libro de Mansel se reproduce en las páginas 320-335 del libro de Stephen de 1862 Ensayos donde se puede encontrar la cita anterior en página 333 .

(AÑADIDO 2 AÑOS DESPUÉS) Como mi respuesta sigue recibiendo un interés esporádico y porque este fin de semana me he encontrado con algo relacionado con ella, he pensado en ampliar mi respuesta añadiendo un par de elementos.

La primera novedad, [A] es un extracto de un artículo de 1945 de Charles Edward Whitmore. Encontré el artículo de Whitmore hace varios años, cuando estaba revisando todos los volúmenes de la revista Revista de Historia de las Ideas en una biblioteca universitaria cercana. Por cierto, en el artículo de Whitmore es donde me enteré de las especulaciones de James Fitzjames Stephen que se dan más arriba. La segunda novedad, [B] es un extracto de un ensayo de Augustus De Morgan que leí este último fin de semana. El ensayo de De Morgan es un artículo [15] en mi respuesta a la pregunta de StackExchange sobre Historia de la Ciencia y las Matemáticas ¿Influyeron los escritos de Galileo sobre el infinito en Cantor? y su ensayo también se menciona en el artículo [8] . A lo largo de los años he encontrado referencias al ensayo de De Morgan de vez en cuando, pero nunca lo he leído porque nunca me he molestado en buscarlo en una biblioteca universitaria. Sin embargo, cuando descubrí para mi sorpresa (pero realmente no debería haberme sorprendido) que una copia digital del ensayo estaba disponible gratuitamente en Internet cuando lo busqué hace una semana, hice una copia impresa, que luego leí cuando tuve algo de tiempo (este último fin de semana).

[A] Charles Edward Whitmore (1887-1970), Mill y las matemáticas: Una nota histórica , Revista de Historia de las Ideas 6 #1 (enero de 1945), 109-112. MR 6,141n; Zbl 60.01622

(primer párrafo del documento, en la página 109) En varias obras filosóficas se encuentra la afirmación de que J. S. Mill afirmó en algún momento que dos y dos podrían ser cinco. Así, el profesor Lewis dice $^1$ que Mill "nos pidió que supusiéramos un demonio lo suficientemente poderoso y maléfico como para que cada vez que se juntaran dos cosas con otras dos, este demonio introdujera siempre una quinta"; pero no da ninguna referencia concreta. {{nota a pie de página: $^1$ C. I. Lewis, La mente y el orden mundial (1929), 250. }} C. S. Peirce $^2$ lo pone en la forma, "cuando dos cosas se juntan una tercera debe surgir", llamándolo una doctrina usualmente atribuida a Mill. {{nota a pie de página: $^2$ Documentos recopilados IV, 91 (fechado en 1893). Los editores proporcionan una referencia a Lógica II, vi, 3. }} Albert Thibaudet $^3$ atribuye a "un filósofo escocés citado por Mill" la doctrina de que la suma de dos cantidades puede conducir a la producción de una tercera. {{nota a pie de página: $^3$ Introducción a Las ideas de Charles Maurras (1920), 7. }} De nuevo, el profesor Laird señala $^4$ que "Mill sugirió, recordamos, que dos y dos podrían no ser cuatro en alguna parte remota del universo estelar", refiriéndose a Lógica III, xxi, 4 y II, vi, 2. {{nota a pie de página: $^4$ John Laird, Knowledge, Belief, and Opinion (1930), 238. }} Estos casos, recogidos de forma un tanto casual, sugieren que hay cierta confusión en la situación.

(de las páginas 109-111) Además, la noción de que dos y dos deben ["podrían" pretenderse] hacer cinco se opone totalmente a la doctrina general de la Lógica . $[\cdots]$ Sin embargo, aunque estas opiniones se mantienen en la edición final del Lógica Es cierto que Mill se las ingenió, en el intervalo, para desautorizarlos. Después de leer tres veces las obras de Sir William Hamilton, se entregó a un examen masivo de ese filósofo, en el curso del cual invierte su posición, pero a sugerencia de otro pensador. En el capítulo VI se apoya en las asociaciones inseparables generadas por la experiencia uniforme como obligándonos a concebir dos y dos como cuatro, de modo que "probablemente no tendríamos ninguna dificultad en juntar las dos ideas supuestamente incompatibles, si nuestra experiencia no hubiera asociado primero inseparablemente una de ellas con lo contradictorio de la otra". A esto añade: "Que el reverso de los principios más conocidos de la aritmética y la geometría podría haberse hecho concebible incluso a nuestras facultades mentales actuales, si esas facultades hubieran coexistido con una constitución totalmente diferente de la naturaleza externa, se muestra ingeniosamente en el trabajo final de un volumen reciente, anónimo, pero de autoría conocida, Ensayos, de un abogado." El autor de la obra en cuestión era James Fitzjames Stephen, que en 1862 había reunido varios trabajos aparecidos en Revisión del sábado durante unos tres años anteriores. Algunos de ellos trataban sobre filosofía, y es a partir de una revisión de la obra de Mansel Metafísica que Mill procede a citar en apoyo de su nueva doctrina $[\cdots]$

Nota: En la página 111, Whitmore argumenta contra el punto de vista empírico de Mill y Stephen de que "dos más dos son cuatro". Los argumentos de Whitmore no me resultan muy convincentes.

(de la p. 112) Mill, entonces, no originó la idea, sino que la adoptó de Stephen, en la forma de que dos y dos podrían ser cinco para nuestras facultades actuales, si la naturaleza externa estuviera constituida de manera diferente. No lo asignó a alguna parte remota del universo, ni invocó la actividad de algún demonio maléfico; tampoco dijo que uno y uno podrían hacer tres. No exploró sus implicaciones, ni preguntó cómo podría reconciliarse con lo que había dicho en otros lugares; pero al menos tiene derecho a una declaración definitiva de lo que dijo. Confieso que estoy algo desconcertado por las diferentes formas en que se ha citado y por los detalles irrelevantes que se han añadido.

[B] Augustus De Morgan (1806-1871), Sobre el infinito; y sobre el signo de la igualdad , Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge 11 Parte I (1871), 145-189.

Publicado por separado como folleto por Cambridge University Press en 1865 (mismo título; i + 45 páginas). El siguiente extracto pertenece a la versión publicada en 1865.

(nota 1 de la página 14) Estamos dispuestos a pronunciar que el admirable armonía preestablecida que existe entre lo subjetivo y lo objetivo es una propiedad necesaria de la mente. Puede serlo o no. ¿No podemos conceder a la omnipotencia el poder de crear una mente cuyo recuento primario sea de dos en dos? $0,$ $2,$ $4,$ $6,$ &c.; una mente que siempre encuentra su primera noción indicativa en esto y aquello y sólo con esfuerzo se separa este de que . No puedo inventar las formas fundamentales del lenguaje para esta mente, por lo que me veo obligado a hacerla contradecir su propia naturaleza utilizando nuestros términos. El intento de pensar en tales cosas ayuda al hábito de distinguir lo subjetivo y lo objetivo.

Nota: Los interesados en este tipo de especulaciones también querrán consultar la extensa nota a pie de página de De Morgan en la página 20.

(AÑADIDO 6 AÑOS DESPUÉS) Hace poco leí el libro de Ian Stewart de 2006 Cartas a un joven matemático y en este libro hay un pasaje (ver abajo) que creo que vale la pena incluir aquí.

(de las páginas 30-31) Creo que las matemáticas humanas están más vinculadas a nuestra fisiología, experiencias y preferencias psicológicas particulares de lo que imaginamos. Son parciales, no universales. Los puntos y las líneas de la geometría pueden parecer la base natural de una teoría de la forma, pero también son las características en las que nuestro sistema visual disecciona el mundo. Un sistema visual extraterrestre podría encontrar primarias la luz y la sombra, o el movimiento y la inmovilidad, o la frecuencia de vibración. Un cerebro alienígena podría considerar que el olor o la vergüenza, pero no la forma, son fundamentales para su percepción del mundo. Y aunque los números discretos como $1,$ $2,$ $3,$ nos parecen universales, se remontan a nuestra tendencia a reunir cosas similares, como las ovejas, y a considerarlas propiedad: ¿tiene uno de mi ¿se han robado las ovejas? La aritmética parece haberse originado a través de dos cosas: el tiempo de las estaciones y el comercio. ¿Pero qué pasa con las criaturas dirigibles del lejano Poseidón, un hipotético gigante gaseoso como Júpiter, cuyo mundo es un flujo constante de vientos turbulentos, y que no tienen sentido de la propiedad individual? Antes de que pudieran contar hasta tres, lo que estuvieran contando se habría esfumado con la brisa de amoníaco. Sin embargo, entenderían mucho mejor que nosotros las matemáticas del flujo de fluidos turbulentos.

Answer 3

Personalmente, me gustaría definir el símbolo $2$ como $1+1$ .

Sin embargo, dependiendo de lo que se asuma, esto no asegura $2\ne 0$ . ¿Qué suele suponer la gente? A menudo, los matemáticos trabajan con la noción de anillo conmutativo . Piensa en los números enteros de la siguiente definición: Un anillo conmutativo es una estructura matemática con un operador de adición $+$ y un operador de multiplicación $\times$ que contiene elementos $1$ y $0$ con las condiciones que

• $a + b = b + a$ y $a\times b = b\times a$
• $a + (b + c) = (a + b) + c$ y $a \times (b \times c) = (a \times b)\times c$
• $a + 0 = a$ y $a\times 1 = a$
• Para cada $a$ existe $b$ con $a+b=0$ escribimos $b=-a$
• Tenemos $a\times(b+c)=(a\times b) + (a\times c)$

Ahora los números enteros satisfacen claramente estas condiciones, y todos tenemos una buena idea de lo que $2$ significa allí. Sin embargo, considere $\{0,1\}=:\mathbb F_2$ . También satisface las condiciones, si realizamos la suma y la resta como de costumbre, pero decretamos que $1+1=0$ . Ahora tienes $2=0$ dentro de $\mathbb F_2$ .

Sin embargo, tenga en cuenta que nada le impide limitarse a las estructuras matemáticas en las que $1+1\ne 0$ . De hecho, muy a menudo, uno se limita a las estructuras donde $1+\cdots+1\ne 0$ no importa cómo muchas veces se añade $1$ a sí mismo.

Al final, todo es una cuestión de definiciones. Pero realmente, yo siempre diría $2=1+1$ simplemente porque el símbolo $2$ debe ser razonablemente definido como eso.

Answer 4

He aquí un argumento a tener en cuenta. Tome las siguientes tres proposiciones:

(A) 1 + 1 = 2

(B) Si hay exactamente una $F$ y exactamente una $G$ (y no $F$ es $G$ ), entonces hay exactamente dos cosas que son $F$ -o- $G$ .

(C) $(\exists x)(Fx \land \forall y(Fy \to y = x)$ , $(\exists x)(Gx \land \forall y(Gy \to y = x) \vdash$ $\quad\quad\quad(\exists x)(\exists y)(\neg x = y \land (Fx \lor Gx) \land (Fy \lor Gy) \land (\forall z)(Fz \lor Gz \to (z = x \lor z = y))$

Ahora bien, es una cuestión controvertida lo que exactamente la relación es entre (A) y (B). Pero es muy plausible decir que si (A) se interpreta efectivamente como un enunciado de aritmética escolar ordinaria (y no como una mera cadena de símbolos formales desintegrada), entonces, así entendido, (A) es verdadero si, para cualquier $F$ , $G$ (B) es verdadera. Pero (B), con cuantificadores numéricos, se puede regimentar como (C), con cuantificadores ordinarios. Y (C) es un teorema lógico directo de la lógica de primer orden.

Por lo tanto, (C) es verdadera como una cuestión de lógico necesidad, por lo que (B) lo es. Y parece a priori que la verdad de (A) va necesariamente con la verdad de (B) para cualquier $F$ , $G$ . Por lo tanto, se deduce que (A), entendida de la manera ordinaria, es necesariamente verdadera. también.