Generadores de un ideal en un anillo de funciones real valoradas

Question

Es parte de un ejercicio en el libro álgebra homológica básica, capítulo 2 del ejercicio 16.

Supongamos que $R$ es el anillo de $C^\infty(\mathbb{R})$ de todas las funciones con período $2\pi$, y que $I$ el ideal máximo de $R$ de todas las funciones de $R$tomar $0$ $0$.

¿Cómo puedo probar que $I$ es generado por cualquier función (uno) en $\sin(x)$ que tengan valor distinto de cero en $I$ y $\pi$?

Answer 1

Me di cuenta de que mi respuesta anterior no abordar el 'cualquier' parte de la función. Así que aquí es un segundo intento de que podría ser lo que Mike sugieren en el comentario:

Llame a $g(x)$ que la función en $I$ $g(\pi)=c\neq 0$ un deje $g_2:=1-g(x)/c$, de modo que $1=g(x)/c+g_2(x)$. Observar que $g_2$ se desvanece en $\pi$.

Ahora multiplicando una $f\in I$ con la anterior partición de la unidad que usted consigue $f=fg/c+fg_2$ y el segundo sumando se desvanece en$0$$\pi$. Dividiendo $fg_2$ $sin(x)$ le da una suave función periódica $h(x)$ definido en todas partes (por Hadamards Lexema) lo $f=fg/c+h\sin(x)$ lo que demuestra la demanda.