Mostrar que existe que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ $0 \le x_{n+1} \le x_n + \frac1{n^2}$

Question

Que $x_1, x_2,\ldots$ ser una secuencia de los números reales no negativos tal que

$$x_{n+1} ≤ x_n + \frac 1{n^2}\text{ for }1≤n.$$

Mostrar que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ existe. Ayuda por favor...

Answer 1

La secuencia es acotado por arriba y por debajo, por lo tanto ambos $$\ell = \liminf x_n$$ y $$L = \limsup x_n$$ son finitos. Pick $\varepsilon$, y un gran $n$ a que ambos hemos $$x_n < \ell + \varepsilon$$ and $$\sum_{k \geq n} \frac{1}{k^2} < \varepsilon$$ Entonces para cualquier $m > n$ el uso de la asunción, obtenemos $$x_m < x_n + \sum_{k \geq n} \frac{1}{k^2} \leq \ell + 2\varepsilon$$ Tomando $m$ a lo infinito, a lo largo de una secuencia tal que $x_m \rightarrow L$ obtenemos $L \leq \ell + 2\varepsilon$. Tomando $\varepsilon$ a cero obtenemos $L \leq \ell$. Desde trivialmente $\ell \leq L$ llegamos a la conclusión de que $\ell = L$ y por lo tanto el límite existe.

Answer 2

Desde el estado dado y la ecuación, lo follows $$0\leq x_{n+1}\leq x_1 +\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2}$$ Taking limits as $n\rightarrow \infty$ we get $$0\leq \lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}\leq x_1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=x_1+\zeta(2)=x_1+\frac{\pi^2}{6}$$