Una familia de conjuntos de $\mathcal{A}\subset[\omega]^\omega$ se llama casi discontinuo (un.d.) iff $\forall a,b\in\mathcal{A}(a\neq b\rightarrow |a\cap b|<\omega)$ $\mathcal{A}$ es infinito (como tal familias resultan ser no tan interesante si son finitos).
Para un un.d. la familia $\mathcal{A}$ deje $\mathcal{I}(\mathcal{A})$ ser el ideal en $\omega$ generado por $\mathcal{A}\cup\{\{n\}:\,n\in\omega\}$ y deje $\mathcal{I}^+(\mathcal{A})$ la correspondiente coideal $\mathcal{P}(\omega)\setminus\mathcal{I}(\mathcal{A})$.
Una a una.d. la familia se llama completamente separables (o saturado) si por cualquier $b\in\mathcal{I}^+(\mathcal{A})$ hay $a\in\mathcal{A}$ tal que $a\subset b$. Ahora es fácil ver que una infinita completamente separables una.d. la familia debe ser máxima de una.d. (es decir, no se encuentra debidamente incluido en otro.d. de la familia) como cualquier $A\subset\omega$ testigos de nonmaximality de $\mathcal{A}$ testigos que $\mathcal{A}$ no es completamente separable.
En [1] y [2] se puede leer (sin pruebas) que cualquier completamente separables una.d. la familia tiene la propiedad de que para cualquier $b\in\mathcal{I}^+(\mathcal{A})$ ya tienen a ser $2^{\aleph_0}$ muchas $a\in\mathcal{A}$ s.t. $a\subset b$.
Un primer intento fue a tomar una a una.d. la familia $\mathcal{B}$ $b$ del tamaño de la $2^{\aleph_0}$ pero ya no es garantía de que sus elementos son los elementos de $\mathcal{I}^+(\mathcal{A})$ no se consigue que los elementos de la $\mathcal{B}$ contienen elementos de $\mathcal{A}$.
Así que una manera es encontrar un.d. la familia de tamaño $2^{\aleph_0}$ dentro $[b]^\omega\cap\mathcal{I}^+(\mathcal{A})$ (que debe ser posible de acuerdo a [2]), pero no sé cómo se podría hacer.
¿Alguien de ustedes sabe de una prueba de este o de referencia donde se puede encontrar una prueba?
[1] Dilip Raghavan: Un modelo sin fuertemente separable casi la desunión de las familias, Israel J. Math., vol. 189 (2012), 39-53. (que se consigue en http://www.math.toronto.edu/raghavan/ donde aparece como 5 en la sección papeles)
[2] Saharon Sela: MAD familias y SANE a los jugadores (preprint obtener a partir de http://arxiv.org/abs/0904.0816)
