Rouché ' Teorema de s $p(z)=z^7-5z^3+12$

Question

Deje $f$ $g$ ser diferenciable en un dominio $D$ y supongamos que $\gamma$ es un simple contorno cerrado cuyo interior está contenido en el D.

Si $|f(z)-g(z)|<|f(z)|$ todos los $z$$\gamma$, $f$ $g$ tienen el mismo número de ceros en el interior de $\gamma$ (contado, incluyendo su orden).

Estaba leyendo un ejemplo de aplicación del Teorema de Rouché, donde el teorema de Rouché fue utilizado para demostrar que el polinomio $p(z)=z^7-5z^3+12$ $0$ raíces en $\{z:\mathbb{C}:|z|<1\}$.

Lo que se hizo fue:

Deje $g(z)=z^7-5z^3+12$ y deje $f(z)=12$. A continuación, para $|z|=1$,

$|f(z)-g(z)|=|z^7-5z^3| \\ \le|z|^7+5|z| \\=1+5\\=6<12=|f(z)|$

Por lo tanto, por el Teorema de Rouché $p(z)=z^7-5z^3+12$ $7$ raíces en $\{z:\mathbb{C}:|z|<2\}$.

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Me preguntaba, ¿cuál es el propósito de hacer el paso a $\le|z|^7+5|z|$? No me acaba de saltar directamente de $|f(z)-g(z)|=|z^7-5z^3| \\=|1-5|\\=4<12=|f(z)|?$

En segundo lugar, $|f(z)-g(z)|=|-z^7+5z^3|$, hay una razón por la que usan $|f(z)-g(z)|=|z^7-5z^3|$?

En tercer lugar, ¿qué significa para usted "(contado, incluyendo su orden)"? (A partir de la definición anterior)

Answer 1

$|z|=1$, $|f(z)-g(z)|=|z^7-5z^3| = |z^4-5|$, Sin embargo la cantidad pasada no es igual a $5-1$, ya que puede tomar cualquier punto con $|z|=1$ (por ejemplo, tomar $z=e^{i\frac{\pi}{4}}$, entonces el valor es $6$). El mejor límite superior es el dado.

No hay diferencia entre el $|-z^7+5z^3|$y $|z^7-5z^3|$, ya que aparece bajo el $|.|$ (es decir, | w | = |-w |).

Orden significa multiplicidad. $z^2$ tiene un cero de multiplicidad $2$ $0$.