Mostrar que $f(x) = x$ si $f(f(f(x))) = x$.

Question

Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $f$ está aumentando terminantemente, mostrar que $f(x) = x$ si $f(f(f(x))) = x$.

Así que obligatoriamente establece que $f(x) = x$ solamente y no hay otra solución. Por lo tanto, simplemente sustituyendo $f(x) = x$ y por lo tanto demostrando que la igualdad dada tiene no ganarán ningún crédito.

Estaba proceder via inversos, pero luego tuve confusión con la notación. Y para eso, el problema difícil.

Answer 1

Supongamos que $f(x_0)>x_0$ $x_0$. Entonces $$ f(f(f(x_0))) > f(f(x_0)) > f(x_0) > x_0, $$ contradiciendo la hipótesis de que $f(f(f(x_0)))=x_0$. Obtenemos una contradicción similar si $f(x_0)<x_0$. Así que la única opción es que $f(x)=x$ % todos $x$.

Answer 2

Si f es estrictamente creciente, entonces si x>y, f(x)>f(y). Supongamos que f(f(f(x)))=f(x).

Caso 1: Supongamos $f(x) < x$. Por eso, $x>f(x)$. Por lo tanto, $f(x)>f(f(x))$ desde $f$ es estrictamente creciente. Entonces se seguiría que $f(f(f(x)))>f(f(x))$, ya que el $f(f(f(x)))=f(x)$. Pero, puesto que f es estrictamente creciente también podemos inferir que $f(f(x))>f(f(f(x)))$. Así pues, tenemos una contradicción y no es el caso que $f(x) < x$.

Caso 2: Supongamos $f(x)>x$. El razonamiento de este caso viene como similar a la del caso 1. Así, no tiene que $f(x)>x$.

Por tricotomía de ello se sigue que $f(x)=x$