Incrustación de grupos simétricos en grupos ortogonales

Question

Dejemos que $\Sigma_n$ sea el grupo simétrico de orden $n$ . Sea $O(N)$ sea el grupo ortogonal que actúa sobre $\mathbb{R}^N$ .

Pregunta: Dada una cantidad fija de $N$ cómo encontrar el máximo $n$ tal que $\Sigma_n$ se puede incrustar como un subgrupo de $O(N)$ ? He probado ejemplos y supongo que la respuesta es $n=N+1$ . Pero no puedo probar...

Answer 1

Considere la $N$ subespacio $x_1 + \dots + x_{N+1} = 0$ que es ortogonal al vector $\vec{1} =\underbrace{(1,\dots, 1)}_{N+1} \in \mathbb{R}^{N+1} $

Entonces $S_{N+1}$ actúa en este subespacio y se incrusta en $O(N+1)$ y sin embargo $\vec{1}$ se conserva, por lo que esta acción se incrusta en $O(N)$ . Esto muestra $n \geq N+1$ . Esto es lo mismo que la respuesta de @hardmath.

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Mostrando $n \leq N+1$ es menos fácil y no estoy seguro de cómo hacerlo. Deja que $v \in \mathbb{R}^N$ . Entonces $S_{N+2}$ permuta el $(N+2)!$ vectores $\{ gv: g \in S_{N+2}\}\subset \mathbb{R}^N$ . Esto no parece del todo correcto...

El $(N+2)$ -ciclo $a =(1,2,\dots, N+1, N+2)$ puede actuar sobre el vector una y otra vez dando una especie de cadena:

$$ v_1 \to v_2 \to \dots \to v_{N+2} \to v_1$$

Desde $a^{N+2}=1$ Esta simetría hace girar el $(N+2)$ -gon generado por estos vectores, y el panel en el que vive.

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Esto me sigue pareciendo perfectamente bien... y sin embargo no puede ser el caso. Por ejemplo. ¿Por qué no podemos dibujar un tetraedro en una hoja de papel para que conserve toda la simetría que tiene en 3 dimensiones? Entonces... ¿cómo es que $S_4$ no se puede incrustar en $O(2)$ el grupo de rotación en el plano $\mathbb{R}^2$ ? Creo que $S_4$ tiene un 4-ciclo - preservando un cuadrado incrustado en el círculo unitario. También tiene un ciclo de 3, que preserva un triángulo equilátero en el mismo círculo. Es la única simetría que conserva ambas formas.

Además, es instructivo visualizar la simetría de orden 4 del tetraedro correspondiente a la acción del ciclo 4 (1,2,3,4).

Cómo mostrar $S_5$ no se puede incrustar en las rotaciones en $SO(3)$ preservando la esfera unitaria $S^2$ ? De hecho, las simetrías del icosaedro - es isomorfo al grupo alterno $A_5$ - se acerca.