Hiperbólico bichos el estudio de la geometría Euclidiana

Question

Has pasado toda tu vida en el plano hiperbólico. Es una segunda naturaleza para usted que el área de un triángulo sólo depende de sus ángulos, y parece absurdo sugerir que jamás podría ser de otra manera.

Pero recientemente un buen amigo llamado Euclides ha planteado dudas sobre el quinto postulado de Poincaré de Elementos. Este postulado es obvio que dada una línea de $L$ and a point $p$ not on $L$ there are at least two lines through $p$ that do not meet $L$. Your friend wonders what it would be like if this assertion were replaced with the following: given a line $L$ and a point $p$ not on $L$, there is exactly one line through $p$ that does not meet $L$.

Comenzar la investigación de este geometría Euclidiana, pero te resulta totalmente imposible visualizar intrínsecamente. Usted decide que su única esperanza es encontrar un modelo de esta geometría dentro de su familiar plano hiperbólico.

Lo que el modelo se construye?

No sé si hay una respuesta satisfactoria a esta pregunta, pero tal vez es entretenido tratar de imaginar. Para mayor claridad, se Euclidiana criaturas han construido modelos como los de la mitad superior del plano o el modelo de unidad de disco modelo para visualizar la geometría hiperbólica dentro de un dominio Euclídeo. Me pregunto qué la inversa sería.

Answer 1

He aquí otra versión de Doug Chatham la respuesta, pero con detalles.

Si usted vive en el espacio Hiperbólico, entonces la geometría Euclidiana sería natural para usted también. La razón es que usted puede tomar lo que se llama un horosphere (en el modelo semi-espacio para nosotros, esto es sólo un hyperplane, la cual es paralela a nuestra limitación hyperplane) y esta superficie tiene una geometría Euclidiana en él!

Así, a diferencia de nosotros, donde el plano hiperbólico no puede ser embebido en Euclidiana 3-espacio, la verdad es lo contrario: el plano Euclidiano puede ser embebido en hiperbólico 3-espacio! Así que esto es análogo a nuestra comprensión de la geometría esférica. No es ninguna sorpresa que la geometría esférica es ligeramente diferente, sin embargo, que encaja perfectamente en nuestro Euclidiana visión de las cosas, porque la geometría esférica es algo que figuran en la geometría tridimensional debido a la incrustación.

Answer 2

Buscar "horosphere" (por ejemplo, en la página 90 de la Princeton Compañero de las Matemáticas). Wikipedia lo describe en su Horoball página.

Answer 3

Una alternativa a la horosphere modelo ...

En "Un Modelo Euclídeo para la Geometría Euclidiana", Adolf Madur describe un modelo de Disco del plano Euclidiano. (Madur dice que David Gans tiene prioridad para la discusión de este modelo, así que voy a llamar el "Gans de Disco".) Las "líneas" que consisten en diámetros del Disco, y la mitad de las elipses que tienen un diámetro como eje principal; la medida del ángulo entre dos "líneas" se define como la medida tradicional de que el ángulo entre sus respectivos ejes. Con una adecuada métrica (que se me ha olvidado, y que es sólo falta en la vista previa del documento vinculado), obtenemos todo el plano Euclidiano hacinados en el Disco.

La superposición de las Gans de Disco en el Disco de Poincaré (o un sub-disco de la misma) proporciona otra forma de Hyperbolians para el estudio de la geometría Euclidiana. Ellos sólo tienen que ponerse de acuerdo para tratar estos de media elipse caminos (que creo que no son elipses para ellos) como "líneas", y a modificar su concepto de medida de ángulo y la longitud en consecuencia.

Este modelo puede ser considerablemente más difícil para Hyperbolians para envolver su mente alrededor de la horosphere modelo, aunque.

Edit. Desde elipses son proyecciones de inclinado círculos, se puede "levantar" las Gans de Disco a un "Gans Hemisferio". (Esto es en realidad una fase central en la derivación de las Gans modelo de Disco.) Allí, las "líneas" son grandes semi-círculos, con los ángulos medidos a través de sus diámetros en el plano ecuatorial. No es una gran refinamiento de las Gans de Disco, pero al menos las "líneas" son de origen natural, los objetos geométricos, en lugar de las artificiales elipse-caminos. Por supuesto, la métrica sería necesario un ajuste; la parte superior de mi cabeza, no sé cuánto más (o menos?) complicada que la métrica sería.

Answer 4

En un sentido, es un modelo de la geometría Euclidiana. Sin embargo, la geometría de la esfera puede ser estudiado en las esferas con diferentes radios y, por lo tanto, la curvatura diferente.

Para los bichos que creció en un plano hiperbólico también hay un parámetro que mide la curvatura de su mundo. Algunos bonitos efectos visuales acerca de esta técnica y los detalles se pueden encontrar aquí:

http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/crochet/crochet.html