¿Cuál es la propiedad de los números reales que permite verlos como una línea continua, y cómo los números naturales, los números racionales carecen de esta propiedad?
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A veces, la propiedad del límite superior mínimo no acalla las dudas que surgen en la mente respecto a la llamada continuidad de la recta real. Como he mencionado ici La mejor manera de entenderlo es utilizar la definición de continuidad de Dedekind. La continuidad de la línea aunque sigue de la completitud (propiedad l.u.b.).
Este extracto es de Ensayos sobre la teoría de los números por Richard Dedekind . Más información ici .
Supongamos que divides los números reales de forma que todo el conjunto $\Bbb R$ se divide en dos subconjuntos tales que uno de ellos se encuentra a la izquierda del punto de división y el otro a la derecha. Si sólo hay un punto que pueda provocar esta partición, entonces la recta real es continua. Así es como equiparamos los números reales a una "recta continua". Si se puede dividir la recta en dos clases de este tipo entonces sólo hay un punto que cause esta división. Si hubiera dos, la distancia entre estos puntos sería un agujero en la línea original y, por tanto, la línea no sería "continua", es decir, consistente, suave o perfecta.
Si lees el libro de Dedekind en la página 13 encontrarás una prueba de que hay formas de dividir los números racionales en dos clases de este tipo pero hay más de un punto (infinitamente muchos de hecho) que causan esta división. Específicamente esta clase de partición es causada cortando la línea de números racionales en un punto donde podría haber estado un número irracional. Le insto a que lea las primeras páginas del libro de Dedekind para comprender bien todo esto.
En cuanto a los números naturales, no forman una línea. Forman una serie de migas de pan de Hansel y Gretel con enormes cráteres entre ellas y, por lo tanto, no se parecen a una línea.
s7orm
Puntos
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En la construcción axiomática de los conjuntos $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ el pasaje de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$ se realiza asumiendo la Completitud Dedekin de $\mathbb{R}$ .
Es decir, para cualquier subconjunto $S \subseteq\mathbb{R}$ que tiene un límite superior, debe existir $\bar{s}=\sup{S}$ y debe pertenecer a $\mathbb{R}$ sí mismo. Lo mismo debe ocurrir con los límites inferiores.
Es fácil darse cuenta de que esto no es cierto para $\mathbb{Q}$ En efecto $S=\{q\in\mathbb{Q} : q < \sqrt{2}\}$ tiene $\sqrt{2}$ como supremum, que no pertenece a $\mathbb{Q}$ .
