Raíz del cubo en $ C^{*}$ -Álgebra.

Question

Dejemos que $A$ ser un $C^*\text{-algbera}$ y $x\in A$ . Estoy tratando de mostrar que

a)para $0<\alpha<\frac{1}{2}$ existe $u\in A$ con $x=u(x^*x)^{\alpha}$ y $u^*u=(x^*x)^{1-2\alpha}$ .

b) existe $y\in A$ tal que $x=yy^*y$ ( $\text{"cube root"}$ de x) y tal $y$ es único.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Para la prueba de la primera parte, véase $C^*$ -y su grupo de automorfismos por G. K. Pedersen páginas 11-12, lemas 1.4.4-1.4.5.

Para la demostración de la segunda parte se utiliza el resultado anterior con $\alpha=1/3$ . Entonces se obtiene $u\in A$ tal que $x=u(x^*x)^{1/3}$ y $u^*u=(x^*x)^{1/3}$ . Por lo tanto, $x=uu^*u$ . La prueba de la unicidad te la dejo a ti ya que esto es una tarea.