Esta respuesta puede tener un poco más de matemáticas doblado de lo que estaban buscando.
Lo importante a reconocer es que todos estos medios son simplemente la media aritmética en el disfraz.
La característica importante en la identificación de los cuales (si!) de los tres medios comunes (aritmética, geométrica o armónico) es el "derecho" significa que es encontrar la "estructura aditiva" en la pregunta en cuestión.
En otras palabras, supongamos que se nos ha dado algunos abstractos cantidades $x_1, x_2,\ldots,x_n$, which I will call "measurements", somewhat abusing this term below for the sake of consistency. Each of these three means can be obtained by (1) transforming each $x_i$ into some $y_i$, (2) tomar la aritmética la media y, a continuación, (3) la transformación de volver a la original de la escala de medición.
Media aritmética: es evidente que el uso de la "identidad" de la transformación: $y_i = x_i$. So, steps (1) and (3) are trivial (nothing is done) and $\bar x_{\mathrm{AM}} = \bar y$.
Media geométrica: Aquí la estructura aditiva es en los logaritmos de las observaciones originales. Así, tomamos $y_i = \log x_i$ and then to get the GM in step (3) we convert back via the inverse function of the $\log$, i.e., $\bar x_{\mathrm{GM}} = \exp(\bar{y})$.
La media armónica: Aquí la estructura aditiva es en el recíprocos de nuestras observaciones. Por eso, $y_i = 1/x_i$, whence $\bar x_{\mathrm{HM}} = 1/\bar{y}$.
En los problemas físicos, estos a menudo surgen a través del siguiente proceso: Tenemos una cierta cantidad $w$ that remains fixed in relation to our measurements $x_1,\ldots,x_n$ and some other quantities, say $z_1,\ldots,z_n$. Now, we play the following game: Keep $w$ and $z_1+\cdots+z_n$ constant and try to find some $\bar x$ such that if we replace each of our individual observations $x_i$ by $\bar x$, entonces el "total", la relación es aún conserva.
La distancia–velocidad–tiempo ejemplo parece ser popular, por lo que vamos a utilizar.
La distancia constante, variando los tiempos de
Considere la posibilidad de una distancia fija viajó $d$. Now suppose we travel this distance $n$ different times at speeds $v_1,\ldots,v_n$, taking times $t_1,\ldots,t_n$. We now play our game. Suppose we wanted to replace our individual velocities with some fixed velocity $\bar v$ tal de que el tiempo total permanece constante. Tenga en cuenta que tenemos
$$
d - v_i t_i = 0 \>,
$$
de modo que $\sum_i (d - v_i t_i) = 0$. We want this total relationship (total time and total distance traveled) conserved when we replace each of the $v_i$ by $\bar v$ en nuestro juego. Por lo tanto,
$$
n d - \bar v \sum_i t_i = 0 \>,
$$
y desde cada una de las $t_i = d / v_i$, obtenemos que
$$
\bar v = \frac{n}{\frac{1}{v_1}+\cdots+\frac{1}{v_n}} = \bar v_{\mathrm{HM}} \>.
$$
Tenga en cuenta que la "estructura aditiva" aquí es con respecto a la persona de los tiempos, y que las mediciones están inversamente relacionadas con ellos, de ahí que la media armónica se aplica.
La variación de las distancias de tiempo constante
Ahora, vamos a cambiar la situación. Supongamos que para $n$ instances we travel a fixed time $t$ at velocities $v_1,\ldots,v_n$ over distances $d_1,\ldots,d_n$. Ahora, queremos que la distancia total se conserva. Tenemos
$$
d_i - v_i t = 0 \>,
$$
y el total del sistema se conserva si $\sum_i (d_i - v_i t) = 0$. Playing our game again, we seek a $\bar v$ tal que
$$
\sum_i (d_i - \bar v t) = 0 \>,
$$
pero, puesto que el $d_i = v_i t$, obtenemos que
$$
\bar v = \frac{1}{n} \sum_i v_i = \bar v_{\mathrm{AM}} \>.
$$
Aquí la estructura aditiva estamos tratando de mantener es proporcional a las medidas que tienen, de modo que la media aritmética se aplica.
De igual volumen del cubo
Supongamos que hemos construido un $n$-dimensional box with a given volume $V$ y nuestras mediciones son las longitudes de la caja. Entonces
$$
V = x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \>,
$$
y supongamos que queremos construir un $n$-dimensional (hyper)cube with the same volume. That is, we want to replace our individual side-lengths $x_i$ by a common side-length $\bar x$. Entonces
$$
V = \bar x \cdot \bar x \cdots \bar x = \bar x^n \>.
$$
Esto indica que debemos tomar $\bar x = (x_i \cdots x_n)^{1/n} = \bar x_{\mathrm{GM}}$.
Tenga en cuenta que la estructura aditiva es en los logaritmos, es decir, $\log V = \sum_i \log x_i$ y estamos tratando de conservar la parte izquierda de la cantidad.
El nuevo medio de edad
Como un ejercicio, piense acerca de lo "natural" significa que está en la situación en la que tanto las distancias y los tiempos varían en el primer ejemplo. Es decir, hemos distancias $d_i$, velocities $v_i$ and times $t_i$. We want to conserve the total distance and time traveled and find a constant $\bar v$ para lograr esto.
Ejercicio: ¿Qué es el "natural" significa en esta situación?
