Encontrar un mejor límite superior para una integral de un producto de $n$ términos

Question

Así que estoy tratando de encontrar un límite superior para la integral

$$ \int\limits_{a}^b \! (x-x_1)^2 \cdots (x-x_n)^2\, \mathrm{d}x, $$

donde $x_i \in [a,b], \enspace \forall i=1,\dots ,n.$ He intentado evaluar una sola facotr $(x-x_i)^2$ pero todo lo que he conseguido ha sido la obviedad:

$$ (x-x_i)^2 \leq (b-a)^2, \enspace \forall i=1,\dots,n, $$

que como resultado me da:

$$ \int\limits_{a}^b \! (x-x_1)^2 \cdots (x-x_n)^2\, \mathrm{d}x \leq (b-a)^{2n+1}. $$

Esa liga no es tan buena para lo que necesito. ¿Alguna sugerencia para mejorarla?

Answer 1

De Hölder: $$ I=\int_{a}^{b}(x-x_1)^2\ldots(x-x_n)^2 dx \leq \left(\int_{a}^{b}(x-x_1)^4 dx \right)^{1/2}\left(\int_{a}^{b}(x-x_2)^4 \ldots (x-x_n)^4dx \right)^{1/2} \leq \\ \leq \left(\int_{a}^{b}(x-x_1)^4 dx \right)^{1/2}\left(\int_{a}^{b}(x-x_2)^8 dx \right)^{1/4}\left(\int_{a}^{b}(x-x_3)^{8}\ldots(x-x_n)^8 dx\right)^{1/4} \leq \ldots \\ \leq \left(\int_{a}^{b}(x-x_1)^4 dx \right)^{1/2}\left(\int_{a}^{b}(x-x_2)^{8} \right)^{1/4} \left(\int_{a}^{b}(x-x_3)^{16}dx \right)^{1/8}\ldots \left(\int_{a}^{b} (x-x_n)^{2^{n+1}} dx\right)^{1/2^n} = \\ =\prod_{i=1}^{n}\left(\int_{a}^{b}(x-x_i)^{2^{i+1}}dx \right)^{2^{-i}} $$

Tenemos que evaluar $\int_{a}^{b}(x-x_i)^{2^{i+1}}dx$ . Realización de la sustitución $x-x_i = y$ tenemos: $$ \left(\int_{a-x_i}^{b-x_i}y^{2^{i+1}}dy \right)^{1/2^{i}}=\left(\frac{(b-x_i)^{2^{i+1}+1}-(a-x_i)^{2^{i+1}+1}}{2^{i+1}+1} \right)^{1/2^{i}} $$

Entonces, si $0\leq a \leq b$ , $$ I\leq \left(\frac{(b-x_1)^{5}-(a-x_1)^{5}}{5} \right)^{1/2} \ldots \left(\frac{(b-x_n)^{2^{n+1}+1}-(a-x_n)^{2^{n+1}+1}}{2^{n+1}+1} \right)^{1/2^n} \leq \\ \leq \left(\frac{b^5 - a^5}{5} \right)^{1/2}\ldots \left(\frac{b^{2^{n+1}+1}-a^{2^{n+1}+1}}{2^{n+1}+1} \right)^{1/2^{n}} $$

Comprobemos si esto es realmente decente. Supongamos que $[a,b]=[0,1]$ y tomar $x_1 = 1/3$ y $x_2 = 2/3$ . La integral es: $$ I=\int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 \left(x-\frac{2}{3}\right)^2 dx = \frac{7}{810} \approx 0.008642 $$

El límite que obtuviste fue $1$ ( $(b-a)^{2n+1}=1^3 = 1$ ). Nuestro da: $$ I\leq \left(\frac{1}{5} \right)^{1/2}\left(\frac{1}{9} \right)^{1/4} \approx 0.26 $$

¡Así que, no es tan grande, y tal vez se complicó demasiado, pero creo que esto es divertido! Tal vez esto despierta algunas otras ideas.