Estoy muy familiarizado con la prueba de la siguiente afirmación: Si$X$ es un espacio compacto de Hausdorff tal que el álgebra de Banach$C(X)$ es separable, a continuación,$X$ es metrizable.
¿Puede ser usado para probar una versión más generalizada de esta declaración con el conjunto$C_b(X)$ de todas las funciones continuas acotadas en$X$? A saber, si$X$ es un espacio totalmente regular de Hausdorff tal que$C_{b}(X)$ es separable, a continuación,$X$ es un espacio metrizable compacto.
$C_b(X)$ es isomorfo y homeomórficos a $C(\beta X)$ donde $\beta X$ es el Čech-Piedra compactification de $X$, lo que existe, como $X$ es completamente regular y Hausdorff. El isomorfismo es, por supuesto, dado por la asignación de un delimitada real continua la función con valores de $f$, que tiene un pacto codominio, esencialmente, a su (único) Čech-Piedra extensión a $\beta X$. Esto conserva también el sup norma, ya que podemos usar la $[\inf{f},\sup{f}]$ como el codominio de ambos $f$ y su extensión. Así que es una isometría entre la función de los espacios.
Ahora, si el primero es separable, por lo que es la última, y luego podemos aplicar su teorema a la conclusión de que la $\beta X$ es metrizable, pero esto sólo ocurre si $X$ ya era compacto metrizable (y por lo tanto $X = \beta X$). Ver esta pregunta por que.
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