¿Hay más grupos pares o Impares?

Question

Mientras pensaba en los grupos solubles y en cómo el teorema de Feit-Thompson afirma que todo grupo finito de orden impar es soluble, me pregunté cuán fuerte es realmente este resultado o cuántos grupos cubre. Sé que no hay una fórmula explícita para el número de clases de isomorfismo de grupos con orden menor o igual a algún número entero dado $n$ Pero se me ocurrió la siguiente pregunta:

Dejemos que $G(n)$ denotan el número de clases de isomorfismo de grupos con orden menor o igual a un número entero dado $n$ y dejemos que denote $S(n)$ el número de clases de isomorfismo de grupos con impar orden menor o igual a $n$ .

Pregunta: Lo que se sabe de: $$ \lim_{n\to\infty}\frac{S(n)}{G(n)} $$ ¿Existe este límite? Si es así, ¿cuál es? Si no es así, ¿qué pasa con el $\limsup$ y $\liminf$ ?

Answer 1

Mirando el libro enumeración de grupos finitos ,

Obtenemos que el número de grupos de orden $p^k$ es al menos: $$\frac{p^{\frac{2m^3}{27}}}{p^{\frac{2}{3}m^2}}$$

También obtenemos que el número de grupos de orden $n$ es:

$$n^{\frac{2\mu^2}{27}}n^{\mathcal O(\mu^{3/2})}$$

donde $\mu$ es el mayor exponente de una potencia prima que divide a $N$ .

Así que tome una $N$ y supongamos que $2^m$ es la mayor potencia de $2$ sin exceder $N$ obtenemos que el número de grupos de orden $2^m$ es al menos:

$$\frac{2^{\frac{2m^3}{27}}}{2^{\frac{2}{3}m^2}}=\frac{(2^m)^{\frac{2}{27}m^2}}{(2^m)^{\frac{2}{3}m}}\geq\frac{N^{\frac{2m^2}{27}}}{N^{\frac{2}{3}m}2^{\frac{2m^2}{27}}}\geq \frac{N^{\frac{2m^2}{27}}}{N^m}$$

Por otro lado, si $n$ es un entero impar menor que $N$ claramente su $\mu$ es como máximo $m\log_3(2)+1$ . Para grandes valores de $m$ podemos acotar esto con $\alpha m$ para una selección previa de $\alpha<1$ .

Así que el número de grupos de orden impar es :

$$N(N^{\frac{2\alpha^2 m^2}{27}}N^{\mathcal O(m^{3/2})})$$ .

Así que la fracción entre el número de grupos de orden $2^m$ y el número de grupos de orden impar menor que $N$ para grandes $N$ es al menos:

$$\frac{N^{\frac{2m^2}{27}}}{N^mN(N^{\frac{2\alpha m^2}{27}}N^{\mathcal O(m^{3/2})})}=N^{\frac{2(1-\alpha^2)m^2}{27}-\mathcal O(m^{3/2})}$$

Que claramente llega al infinito.