¿Hay una definición geométrica de una línea tangente?

Question

Cálculo de los libros suelen dar el "secante a través de dos puntos acercan de" descripción de dar algunos intuición por la tangente líneas. Se dice entonces que la recta tangente es lo que la curva "se parece" en ese momento, o que es la "mejor aproximación" a la curva en ese punto, y dar por sentado que (1) es obvio lo que significa, y (2) que visualmente es obvio que tales afirmaciones son verdaderas.

Para ser justos, es cierto que (1) puedo ordenar de ver lo que quieren decir, y (2) sí, tengo algunos visual de la intuición de que algo como eso es correcto. Pero yo no puedo poner en palabras qué es exactamente una línea tangente es, todo lo que tengo es la definición formal o esta insatisfacción en la vaga sensación de que la tangente a "sólo toca a la curva".

Hay una puramente geométrica definición de una línea tangente a una curva? Algo sin coordenadas o funciones, como un antiguo griego podría haber declarado. Como un ejemplo, "Una línea que pasa a través de la curva, pero no cortar" es exactamente el tipo de cosa que yo quiero, pero por supuesto que no funciona para todas las curvas en todos los puntos.

Answer 1

Una línea tangente puede o no puede cruzar la curva en el punto de tangencia, pero entre todas las líneas a través del punto de tangencia está siempre en el límite entre los que cruce la curva en una dirección en ese momento y aquellos que se cruzan en la dirección en ese momento.

Answer 2

Creo que no hay una buena definición geométrica de una línea tangente: al menos, no hay una definición que abarca todos los casos. Necesitamos cálculo para una buena definición. Aquí está una cita de el libro de Cálculo: Gráfica, Numérica, Algebraica por Ross L. Finney et al., página 84.

El problema de cómo hallar la tangente a una curva se convirtió en el dominante problema matemático de principios del siglo xvii y es difícil a sobreestimar lo mal que los científicos del día quería saber el respuesta. Descartes fue tan lejos como para decir que el problema era que la mayoría de los útil y más general el problema no es sólo que él sabía, pero que él había cualquier deseo de saber.

El libro de texto, a continuación, da la costumbre de cálculo definición de los límites.

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Para ver la dificultad de encontrar una definición que siempre funciona, pruebe a utilizar la geometría para explicar por qué el$x$ -, el eje es la recta tangente a la curva

$$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}\sin \frac{1}{x},}&{x \ne 0} \\ 0,&{x = 0} \end{array}} \right.$$

en $x=0$.

Answer 3

Excluyendo los puntos de inflexión, podríamos estado, una línea tangente a través de un punto dado en una curva es el límite de una media-plano que contiene algún segmento de la curva a cada lado del punto, y para el que el punto en sí está en el límite .

Answer 4

"... la recta tangente, o una curva, es el límite a todas las líneas secantes o curvas."
- Aportes del Smithsonian a VOL Conocimiento. VIII página 249

Más específicamente, podríamos decir: Una línea tangente es el límite a todas las líneas secantes que son paralelas a la misma.

Answer 5

Podemos traducir el epsilon-delta definiciones en más lenguaje geométrico. Una línea tangente a una curva $\gamma$ a un punto de $x$ es una línea de $L$ a través de $x$ que tiene la siguiente propiedad:

• Cada abierto de cono truncado con vértice $x$ que se cruza con $L$ también se cruza con $\gamma$.

Aquí, "abrir cono truncado con vértice $x$" significa un conjunto abierto que contiene todos los puntos entre sí y $x$. A menos de que he cometido un error, esta definición es un atajo forma de estado que $L$ está contenida en el Bouligand cono tangente a$\gamma$$x$.