Dejemos que $P \in M_n(\mathbb C)$ sea idempotente. Demostrar que todos los valores singulares no nulos de $P$ satisfacer $\sigma_i \ge 1$

Question

Tengo algunas dificultades para probar lo siguiente:

Dejemos que $P \in M_n(\mathbb C)$ sea idempotente. Demostrar que todos los valores singulares no nulos de $P$ satisfacer $\sigma_i \ge 1$ .

Por definición sé que $P$ ser idempotente significa $P^2 = P$ . Probablemente tenga que invocar el Teorema de Descomposición del Valor Singular para demostrar el problema. Entonces, dejemos que la descomposición del valor singular de $P$ sea dada por $$P = U\Sigma V^* = P^2 = U\Sigma V^*U\Sigma V^*.$$ Por definición sé que los valores singulares de $P$ son las raíces cuadradas de los valores propios de $P^*P.$ Y, por desgracia, no estoy seguro de adónde ir a partir de aquí.

Me inclinaba a decir que $$\sigma_1 = \|P\|_2 = \|P^2\|_2 \le \|P\|_2\|P\|_2 = \sigma_1^2 \implies 1 \le \sigma_1,$$ para el caso de que sea distinto de cero $\sigma_1$ pero esto no me dice lo suficiente. ¿Qué pasa con $\sigma_2$ ? y más allá?

¿Alguien puede dar una pista?

Answer 1

Una pista. Dejemos que $P=USV$ sea una descomposición de valores singulares y que $W=VU$ . Entonces $P^2=P$ implica que $SWS=S$ .

Answer 2

Pensamientos hasta ahora: Sin pérdida de generalidad, supongamos que $P$ es triangular superior. Observando que $P^2 = P$ podemos tomar $P$ para tener la forma $$ P = \pmatrix{I&Q\\0&0} $$ Dónde $I$ es la matriz de identidad de tamaño $r$ ( $r$ es el rango de $P$ ). Tenemos $$ P^*P = \pmatrix{I&Q\\Q^*&Q^*Q} $$ Ahora bien, si $x$ es un vector propio de $P^*P$ asociado a un valor propio distinto de cero, entonces $x$ está en $\ker(P^*P)^\perp = im(P^*P) = im(P^*)$ . Así, $x = P^*y$ para algunos $y$ . Así que, $$ (P^*P)x = \pmatrix{I&Q\\Q^*&Q^*Q} \pmatrix{y\\Q^*y} = ? $$