Encontrar la relación

Question

¿Cómo encontrar la relación entre el área de la gran pentágono regular$ABCDE$ y el pequeño pentágono regular$PQRST$

Answer 1

Por el ángulo de persecución de uno puede mostrar que $EP=AP=AQ$.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $PQ=1$. Deje $x=EA$. A continuación,$EP=AP=AQ=x-1$.

Tenga en cuenta que los triángulos $EQA$ $APQ$ son similares. De ello se desprende que $\dfrac{EA}{AQ}=\dfrac{AQ}{PQ}$. Así $$\frac{x}{x-1}=\frac{x-1}{1}.$$ Esto se simplifica a $x^2-3x+1=0$, que tiene raíces $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$. Uno de estos es menor que $1$. Por lo $x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.

Ahora la relación de la zona de los grandes del pentágono para el pequeño es$x^2$$1$. Calcular. El número de $x^2$ simplifica a $\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}$.

Observación: tenga en cuenta que $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ es el cuadrado de la famosa "Golden Ratio" $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. La Proporción áurea es a menudo denotado por $\varphi$. Por lo que la relación de áreas es $\varphi^4$.

Answer 2

La relación de áreas es el mismo que el de la plaza de las proporciones de los lados, por lo que la relación que usted quiere es

$$\frac{{\rm area}(ABCDE)}{{\rm area}(PQRST)} = \left( \frac{{\rm length}(AB)}{{\rm length}(PQ)}\right)^2$$

Para calcular esto, tenga en cuenta que los ángulos $BAC$ $CAD$ todos los $\pi/5$, que se puede obtener observando que (a) el ángulo de $BAE$ $3\pi/5$ (suma de los ángulos externos es $2\pi$) y que $AEDB$ es un trapecio, por lo que sus ángulos interiores suma a $2\pi$ y superior dos ángulos y dos bajos ángulos son iguales.

Ahora usted puede utilizar la trigonometría. Si llamamos a la longitud lateral de la mayor pentágono $a$, luego de caer de la perpendicular desde el punto de $A$ a se cruzan con $PQ$$S$$DC$$T$, conduce a la consideración de los triángulos $ASE$$ATD$. La relación de su altura es igual a la razón de la longitud de la $AB:PQ$.

Para el triángulo $ASE$, usted tiene

$$\sin(\pi/5) = {\rm length}(AS) / a$$

y para $ATD$

$$\tan(2\pi/5) = 2\, {\rm length}(AT) / a$$

y la combinación de estos da

$$\frac{{\rm length}(AT)}{{\rm length}(AS)} = \frac{\tan(2\pi/5)}{2\sin(\pi/5)}$$

y así la relación de áreas es

$$\frac{\tan^2(2\pi/5)}{4\sin^2(\pi/5)} = \frac{1}{2}(7 + 3\sqrt{5}) \approx 6.85$$