$A = B\cdot p(A)$. Mostrar$A$ y$B$ trayecto.

Question

Un problema a mi profesor envió:

Supongamos$p$ es un polinomio no nulo con el término constante. Supongamos$A,B\in M_n(\mathbb{C})$ tal que$A=B\cdot p(A)$. Demostrar que$A$ y$B$ trayecto.

Esta es una generalización del problema: supongamos$A + B = AB$. Mostrar$A$ y$B$ trayecto. Aquí podemos observar que$(I-A)=(I-B)^{-1}$. He estado tratando de adaptar dicha estrategia para el caso más general, sin suerte hasta ahora.

Answer 1

Nota: primero que si una matriz $M$ es invertible, el uso del polinomio característico muestran que $M^{-1}$ es un polinomio en a $M$.

Ahora nos muestran que la $p(A)$ es invertible. Deje $x$ tal que $p(A)x=0$. A continuación, llegamos $Ax=Bp(A)x=B0=0$, y, a continuación, que $ax=0$ donde $a$ es la falta de cero término constante de $p(X)$, debido a $A^mx=0$ todos los $m\geq 1$. Por lo tanto $x =0$, e $p(A)$ es invertible. Ahora aplique el comentario, con $M=p(A)$: $M^{-1}$ es un polinomio en a $M$, por lo tanto, en $A$, e $B=AM ^{-1}$ es también un polinomio en $A$. Por lo tanto $B$ viajan a $A$.