¿Cómo encontrar el número de números primos entre dos números enteros

Question

Tengo dos números enteros,$x$ y$y$ en lo que$x \lt y$. ¿Cuántos números primos hay entre$x$ y$y$ (exclusivo). ¿Existe una fórmula o algoritmo para calcular?

Answer 1

Deje $\pi(x) = \#\{p\leq x \mid p \mbox{ is prime}\}$ ser la principal función de conteo. El Primer Número Teorema nos dice que $$ \pi(x) \sim \frac{x}{\log x}. $$ (Es $\lim_{x\to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x}=1$.) Así, grosso modo, en torno a un gran $x$, la probabilidad de que un número entero es un prime es $1/\log x$. Así, ingenuamente, uno puede esperar que el número de números primos en un intervalo de $(x,y]$, para un gran $x$ es de alrededor de $(y-x)/\log x$, y en una heurística de la fórmula, $$ \pi(y)-\pi(x)\sim \frac{(y-x)}{\log x} = \frac{h}{\log x}. \qquad(*) $$ Aquí $h=y-x$ es la longitud del intervalo. Esta heurística hace que los sentidos sólo para $h$ cual es mucho más grande que el de $\log x$.

Desde el Primer Número Teorema $(*)$ mantiene si $h\sim \lambda x$ donde $\lambda>0 $ es fijo. De la Hipótesis de Riemann $(*)$ mantiene para $h\sim x^{1/2+\epsilon}$ fijos $\epsilon>0$. (Debido a que el RH da el término de error en el PNT.) Hay incondicional resultados de Huxley y de Salud-Morena mostrando el $(*)$ $h$ aproximadamente se $x^{7/12}$.

Si $h=\log x \frac{\log \log x \cdot \log\log\log\log x}{\log\log\log x}$, $(*)$ falla por una secuencia $x_n \to \infty$. Para lidiar con el `pequeño' intervalos de Selberg trabajado con casi todos los $x$. Es decir, que él consideraba $(*)$ todos los $x\in \mathbb{R}_{+}\smallsetminus S$ donde $|S\cap (0,x]|=o(x)$. En este sentido $(*)$ mantiene si $h/\log^2 x\to 0$ condicionalmente en RH y para $h=x^{19/77+\epsilon}$ incondicionalmente.

También hay obras en el caso de $h\sim\lambda \log x$. Allí, la distribución del número de números primos en intervalos de este tamaño es Poission con el parámetro $\lambda$, condicionalmente en el de Hardy-Littlewood primer tupla conjetura. Creo que esto es debido a Gallagher.

Answer 2

encontrar el número de números primos entre dos números dados x e y tales que x

 int count_primes_between(int x,int y){  
int j,i,count=0,flag;
for(i=x;i<=y;i++){
    flag=0;
    for(j=2;j<=i/2;j++){
        if(!(i%j)){
            flag=1;break;
        }
        if(!flag) count++;  
    }   
}
return count;
 

}