Resolver

Question

Estoy tratando de resolver la pregunta:

$\cos{z}+\sin{z}=2$

Donde $z \in \mathbb{C}$

Yo creo que no sé cómo solucionar $\cos{z}+\sin{z}=-1$:

$1+2\cos^2{\frac{z}{2}}-1+2\sin \frac{z}{2}\cos{\frac{z}{2}}=0\\ 2\cos{\frac{z}{2}}(\cos{\frac{z}{2}}+\sin{\frac{z}{2}})=0$

etc... (es decir, si el doble ángulo de identidad ocurre cuando el 'ángulo' es un número complejo - yo podría estar equivocado acerca de esto)

Mis otros métodos implican:

• tratando de sustituir $\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$. Este parece ser el método más obvio, pero no puedo averiguar el siguiente paso después de $$e^{iz}-e^{-iz}+(e^{iz}+e^{-iz})i=4i$$

• sustituyendo $2=2(\sin^2{z}+\cos^2{z})$

• sustituyendo $\sin{z}=\cos(\frac{\pi}{2}-z)$ (de nuevo, no muy seguro de si esto se puede hacer)

Answer 1

Hay que recordar que la fórmula para el cosenos Además lee$$\cos(z+z')=\cos z\cos z'-\sin z\sin z',$$ and that, for $ z '= - \ pi / 4$, one gets $ $\cos(z-\pi/4)=(\cos z+\sin z)/\sqrt2.$ $ Hence the equation to be solved is $ $\cos(z-\pi/4)=\sqrt2.$ $ To go further, consider $$u=\mathrm e^{\mathrm i(z-\pi/4)},$ $ then $ u \ ne0$ and the equation above reads $ $u+u^{-1}=2\sqrt2,$ $ that is, $ $u^2-2\sqrt2u+1=0=(u-\sqrt2)^2-1,$ $ that is, $ $u=\sqrt2\pm1.$ $ Thus, the complex number $$\mathrm i(z-\pi/4)-\log(\sqrt2\pm1)$$ must be a multiple of $ 2 \ mathrm i \ pi$, that is, finally, and since $ \ SQRT2 \ PM1$ are respective inverses, $ $z=\pm\mathrm i\log(\sqrt2+1)+\pi/4+2n\pi,\qquad n\in\mathbb Z.$ $ Note that here, $ \ log $ es el logaritmo de la función habitual definido en el semirrecta real positiva.

Answer 2

Otra respuesta:

En primer lugar, vamos a reconocer por qué tenemos que ir a variables complejas. Recordando que $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, tenemos desde el coseno además de la fórmula

$$\sin z+\cos z = \sqrt{2}\cdot\left[\sin\frac{\pi}{4}\sin z+\cos\frac{\pi}{4}\cos z\right]=\sqrt{2}\cos\left(z-\frac{\pi}{4}\right)$$ as several other answers have already noted. This has a maximum value of $\sqrt{2}$ for real $z$, so we'll need complex $z$ if we want to get a value of $2$ en su lugar.

Teniendo en cuenta que la mayor acercamiento real $z$$z=\pi/4$, podemos hacer la sustitución $z=\frac{\pi}{4}+i\tau$ con la expectativa de que $\tau$ 'sobre todo' ser imaginario. Da, por tanto, la ecuación $$\sqrt{2}\cos\left(z-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos(i\tau)=\sqrt{2}\cosh \tau=2$$ which immediately yields $\tau=\pm \cosh^{-1} \sqrt{2}$ as the principal solutions (recall that hyperbolic cosine is an even function). Thus $\boxed{z=\dfrac{\pi}{4}\pm i\cosh^{-1} \sqrt{2}+2\pi n}$ where we have taken into account the $2\pi$-periodicidad de las funciones trigonométricas involucrados.

Answer 3

Tenga en cuenta que

ps

Por lo tanto, si se puede resolver la ecuación

ps

(Que es cuadrática) entonces se puede resolver el original.

Answer 4

Creo que usted estaba en el camino correcto. Poniendo $\;z=x+iy\;,\;\;x,y\in\Bbb R\;$ :

ps

ps

ps

Y por lo tanto se obtienen dos ecuaciones:

ps

Si se agrega \ Restar las dos ecuaciones se obtiene

ps

ps

Ahora tiene dos ecuaciones reales, trascendentales para resolver

Answer 5

Ahora aquí es una solución puramente algebraica. Como se ha señalado, el problema es equivalente a$$(1 + i){e^{iz}} - (1 - i){e^{ - iz}} = 4i$$consider the new variable $ x$ as $ {x = e ^ {iz}}$in terms of the newly defined variable, the problem reads as$ $(1 + i)x - {{(1 - i)} \over x} = 4i$ $multiplying by $ x$, we get $ $(1 + i){x^2} - 4ix - (1 - i) = 0$ $which is a standard second order equation. The solutions are $ $x = {{4i \pm \sqrt { - 16 + 4(1 - i)(1 + i)} } \over {2(1 + i)}} = \left( {1 \pm {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)(1 + i)$ $so that $$z = {1 \over i}\ln x = - i\left( {\ln \left( {1 \pm {{\sqrt 2 } \over 2}} \right) + \ln (1 + i)} \right)$ $ que es de esperar que lo que busca (tenga en cuenta que un análisis más cuidadoso en el logaritmo parte da soluciones en planos superiores de Riemann).