Teoría de la medida: contraejemplo para un límite de conjuntos medibles Lebesgue

Question

Deje$(A_k)_{k \in \Bbb {N}}$ una sucesión de subconjuntos medibles Lebesgue de$\Bbb {R}^n$. $A_k \in \mathscr {A}_n {} ,(A_k) \subset \Bbb{R}^n \ \forall k \in \Bbb {N}$

Dejar $ A^* = \{ x \in \Bbb {R}^n \mid x \in A_k \text{ for infinitely many } k \in \Bbb {N} \} $

Estoy tratando de encontrar una secuencia$A_k$ para refutar la siguiente declaración

Si$ \lim_{k \to \infty } (\mathscr{L}^n(A_k)) = 0 $ #%% luego #%

con$ \mathscr{L}^n(A^*) = 0 $ y$ \mathscr{A}_n = \{ A \in \Bbb {R}^n \mid \text{A is Lebesgue-measurable}\}$ es el n-dimensional Lebesgue medida.

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Te voy a dar un unidimensional contraejemplo. Para $k \geq 1$ deje $s_k = \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}$, es decir, el $k$-ésima suma parcial de la serie armónica, y deje $B_k$ ser el intervalo cerrado $[s_k, s_{k+1}]$. Desde que la serie armónica diverge, la secuencia de $B_k$ cubre $[1, \infty)$. La idea es envolver estos intervalos alrededor de la unidad de intervalo; formalmente tomamos $A_k = \{x - \lfloor x\rfloor : x \in B_k\} $ por cada $B_k$. Aquí $x - \lfloor x \rfloor $ es la parte fraccionaria de $x$.

Cualquier elemento de la unidad de intervalo es infinitamente muchas de las $A_k$-s, lo $A^* = [0,1)$, el cual tiene una medida de uno. Por otro lado, la medida de la $A_k$ obviamente tiende a cero, como se $k$ va al infinito.

Answer 2

Unidimensional caso. Cada número real $a \in (0,1)$ admite que la expansión en el sistema binario de la siguiente manera: $a=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta_k}{2^k}$ donde $\theta_k=0$ o $\theta_k=1$;

Podemos definir subconjuntos de a $(0,1)$ como sigue:

Deje $A_1=\{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta_k}{2^k}:\theta_1=1\},$ $A_2=\{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta_k}{2^k}:\theta_2=1\},$ $A_3= \{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta_k}{2^k}:\theta_3=1,\theta_4=1\},$ $A_4= \{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta_k}{2^k}:\theta_5=1,\theta_6=1\},$ $A_5= \{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta_k}{2^k}:\theta_7=1,\theta_8=1\},$ $A_7= \{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta_k}{2^k}:\theta_9=1,\theta_{10}=1\},$ y así sucesivamente.

Vamos a equipar $(0,1)$ con el estándar de medida de Lebesgue $\mathscr{L}^1$. Es obvio que $(A_k)$ es la secuencia de independiente Lebesgue medibles subconjuntos de a $(0,1)$ y
$$\sum_{k=1}^{\infty}\mathscr{L}^1(A_k)=(1/2+1/2)+(1/4+1/4+1/4+1/4)+\cdots=+\infty.$$ Por Boreli-Canteli Lema tenemos que $\mathscr{L}^1(A^*)=1$ donde $A^*=\{A_k ~o.i.m.\}$.

Es obvio también que $\lim_{k \to \infty}\mathscr{L}^1(A_k)=0$.

$n$-dimensional caso. Ahora ponemos $B_k=A_k\times [0,1]^{n-1}$. A continuación, $(B_k)$ es la secuencia de independiente Lebesgue medibles subconjuntos de a $(0,1)^n$ $\sum_{k=1}^{\infty}\mathscr{L}^n(B_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\mathscr{L}^1(A_k)= +\infty$ que por Borel-Canteli Lema implica que $\mathscr{L}^n(B^*)=1$ donde $B^*=\{B_k ~o.i.m.\}$. En el otro caso tenemos $\lim_{n \to \infty}\mathscr{L}^n(B_k)=\lim_{n \to \infty}\mathscr{L}^1(A_k)=0$.