¿Cómo saber si una función es uno-a-uno o en

Question

Hemos aprendido hoy en la Matemática Discreta, y ahora estoy tratando de revisión de los libros de texto. Sin embargo, lamentablemente durante esta conferencia que estaba completamente perdido sin ninguna idea de lo que estaba pasando.

Yo sé que para uno-a-uno, todos los $x$ tiene una única $y$ a, para todos los $y$ existe un $x$ tal que $f(x)=y$.

Me ha proporcionado dos preguntas para usar como ejemplos de mi libro de texto.

1. Supongamos $f \colon \Bbb N \to \Bbb N$ tiene la regla de $f(n) = 4n + 1$. La función $f$ es uno-a-uno.

2. Supongamos $f \colon \Bbb Z \to \Bbb Z$ tiene la regla de $f(n) = 3n - 1$. La función $f$ es a $\Bbb Z$.

Respuesta de uno o de ambos o dar una sugerencia, me gustaría que sólo el amor de cualquier explicación a lo que está pasando! Gracias!

Answer 1

1) Vamos a mostrar esta función es $1-1$. Para ello, suponemos $f(n_1) = f(n_2)$ y mostrar que esto obliga a $n_1 = n_2$.

Así, si es cierto que $f(n_1) = f(n_2)$, esto significa que

$$4n_1 + 1 = 4n_2 + 1 \\ \Rightarrow 4n_1 = 4n_2 \\ \Rightarrow n_1 = n_2 $$

y hemos demostrado lo que se requiere. Por lo tanto, $f$$1-1$.

2) Vamos a ver si la función es en (podría no ser). Si es así, debemos ser capaces de elegir cualquier $m \in \mathbb{Z}$ y demostrar que hay un $n \in \mathbb{Z}$ tal que $f(n) = 3n - 1 = m$.

Si esto es cierto, entonces necesitaremos $n = \dfrac{1}{3}(m + 1)$. El problema es que esto podría no ser un número entero! Por ejemplo, si $m = 1$, $n$ tendría que ser $\dfrac{2}{3}$, que no es un número entero. Por lo tanto, no es $n \in \mathbb{Z}$ tal que $f(n) = 1$, por lo que la función es no .

EDIT: Por diversión, vamos a ver si la función 1) es en. Si es así, entonces para cada a$m \in \mathbb{N}$,$n$, de modo que $4n + 1 = m$. Básicamente por las mismas razones que en la parte 2), se puede argumentar que esta función es que no sobre.

Para una más sutil ejemplo, vamos a examinar

3) $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tiene la regla de $f(n) = n + 2$. Si es a, entonces, para cada número natural $m$, hay un $n$ tal que $n + 2 = m$; es decir, que $n = m - 2$. Ahora, no tenemos el mismo problema como lo hicimos antes, es decir, no tenemos que dividir por nada por resolver para $n$. Por tanto, hay siempre un número entero $n$ , de modo que $n + 2 = m$.

PERO! Si $m = 1$ (por ejemplo), $n$ tendría que ser $1 - 2 = -1$ que es no un número natural, por lo que esta función es no a cualquiera.

El punto de todo esto es que tenemos que mirar de cerca, tanto en el dominio y codominio para responder este tipo de preguntas.