EDIT: mucho de lo que he dicho en mi post original está mal, resulta :(
El $L^1$ ejemplo de abajo muestra que su formulación de la propiedad de Fatou no es tan útil como parece a primera vista.
La propiedad de Fatou como formular no es cierto en general. Como contraejemplo, considere la posibilidad de
$$
C_0 := \{f : \Bbb{R} \\Bbb{C} \mid f(x) \0 \text{ como } |x|\to\infty \}.
$$
Este es un espacio de Banach (si está equipado con el sup norma), de forma continua incrustado en $\mathcal{S}'$, pero si usted toma algo como
$$
f_n = \sum_{k=1}^n \chi_{[k - 1/k^2, k+1/k^2]},
$$
(usted tiene que reemplazar el "cuadrados" por "triángulos" por supuesto, para hacer que todo continua) $f_n \to f$ $L^1$ (y, por tanto, en $\mathcal{S}'$) para algunos $f$ que ya no pertenece a $C_0$ ().
Uno natural condición suficiente para lo que queremos es la siguiente. Suponga que $E$ puede ser escrito como
$$
E = \{f \in \mathcal{S}' \mid \sup_{g\in F} |\langle f,g \rangle | < \infty \}
$$
con la correspondiente norma, donde $F$ es un subconjunto de a $\mathcal{S}'$.
El problema ahora es que incluso el espacio $L^1$ ¿ no satisfacer a su formulación de la propiedad de Fatou. Para ver esto, tomar cualquier función $f \in C_c$, $f \geq 0$ con $\int f \,dx =1$ y dejar
$$
f_n(x) := n \cdot f(nx).
$$
Es relativamente fácil ver que $f_n \to \delta_0$ (delta de distribución en el origen) en $\mathcal{S}'$ y $\Vert f_n \Vert = 1$ todos los $n$. Pero, por supuesto,$\delta_0 \notin L^1$.
El problema aquí es que parece ser que $L^1$ no es débil-$\ast$-cerrado en $\mathcal{S}'$.
Una formulación alternativa de la propiedad de Fatou (que tiene en muchos casos interesantes, especialmente para $L^1$) puede ser formulado en el contexto de los llamados espacios de funciones de Banach. Estos son espacios en los que continuamente incrustar en $L_\rm{loc}^1$. La propiedad de Fatou, a continuación, afirma que si $f_n \to f$ pointwise una.e. y si $\Vert f_n \Vert_E$ es acotado, entonces $f \in E$ con
$$
\Vert f \Vert_E \leq \liminf_n \Vert f_n \Vert.
$$
Por supuesto, esta propiedad falla tan pronto como la suavidad de las propiedades (como la diferenciabilidad) entrar.
BTW: pregunta Muy interesante.