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¿Qué espacio normado tiene la propiedad de Fatou?

No es la herramienta en matemáticas, más específicamente en el Análisis, que tiene enormes aplicaciones en el manejo de prendas delicadas estimaciones, la limitación de los argumentos, etc... ; es decir, Fatou de la propiedad.

Deje $E$ ser una normativa espacio, continuamente incrustado en $\mathcal{S'}(\mathbb R)$(= El espacio de templado de distribuciones). Decimos que $E$ tiene una propiedad de Fatou , si existe una constante $C>0$ de manera tal que se cumple lo siguiente: Si $\{f_{j}\}_{j\geq 0}$ es cualquier secuencia delimitada en $E,$ con límite de $f\in \mathcal{S'}(\mathbb R),$ $f$ pertenece a $E$ y $$\|f\|_{E}\leq C \sup_{j\geq 0} \|f_{j}\|_{E}.$$

Mi Pregunta es:

Es propiedad de Fatou verdadera general de normativa del espacio(O Espacio de Banach) ? Si no,que tipo de normativa del espacio(O Banch espacio) tienen la propiedad de Fatou y que normativa espacio (de Banach) falla por Fatou propiedad ?

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PhoemueX Puntos 19354

EDIT: mucho de lo que he dicho en mi post original está mal, resulta :( El $L^1$ ejemplo de abajo muestra que su formulación de la propiedad de Fatou no es tan útil como parece a primera vista.

La propiedad de Fatou como formular no es cierto en general. Como contraejemplo, considere la posibilidad de

$$ C_0 := \{f : \Bbb{R} \\Bbb{C} \mid f(x) \0 \text{ como } |x|\to\infty \}. $$

Este es un espacio de Banach (si está equipado con el sup norma), de forma continua incrustado en $\mathcal{S}'$, pero si usted toma algo como

$$ f_n = \sum_{k=1}^n \chi_{[k - 1/k^2, k+1/k^2]}, $$

(usted tiene que reemplazar el "cuadrados" por "triángulos" por supuesto, para hacer que todo continua) $f_n \to f$ $L^1$ (y, por tanto, en $\mathcal{S}'$) para algunos $f$ que ya no pertenece a $C_0$ ().

Uno natural condición suficiente para lo que queremos es la siguiente. Suponga que $E$ puede ser escrito como

$$ E = \{f \in \mathcal{S}' \mid \sup_{g\in F} |\langle f,g \rangle | < \infty \} $$

con la correspondiente norma, donde $F$ es un subconjunto de a $\mathcal{S}'$.

El problema ahora es que incluso el espacio $L^1$ ¿ no satisfacer a su formulación de la propiedad de Fatou. Para ver esto, tomar cualquier función $f \in C_c$, $f \geq 0$ con $\int f \,dx =1$ y dejar

$$ f_n(x) := n \cdot f(nx). $$

Es relativamente fácil ver que $f_n \to \delta_0$ (delta de distribución en el origen) en $\mathcal{S}'$ y $\Vert f_n \Vert = 1$ todos los $n$. Pero, por supuesto,$\delta_0 \notin L^1$.

El problema aquí es que parece ser que $L^1$ no es débil-$\ast$-cerrado en $\mathcal{S}'$.

Una formulación alternativa de la propiedad de Fatou (que tiene en muchos casos interesantes, especialmente para $L^1$) puede ser formulado en el contexto de los llamados espacios de funciones de Banach. Estos son espacios en los que continuamente incrustar en $L_\rm{loc}^1$. La propiedad de Fatou, a continuación, afirma que si $f_n \to f$ pointwise una.e. y si $\Vert f_n \Vert_E$ es acotado, entonces $f \in E$ con

$$ \Vert f \Vert_E \leq \liminf_n \Vert f_n \Vert. $$

Por supuesto, esta propiedad falla tan pronto como la suavidad de las propiedades (como la diferenciabilidad) entrar.

BTW: pregunta Muy interesante.

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