Formas de grandes dimensiones con fórmulas de volumen conocidas

Question

No parece haber muchas formas de alta dimensión cuyo volumen, superficie, etc. puedan expresarse de forma concisa. Los ejemplos que conozco son:

1. Esferas
2. Cubos (o paralelótropos, en general)
3. Símplex
4. Zonotopos

¿Qué otras clases de objetos de grandes dimensiones admiten fórmulas de volumen (o área, etc.) relativamente sencillas?

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EDIT: Dado que los zonotopos son el más desconocido de mis ejemplos, he aquí una referencia: Capítulo 9 de " Cálculo de la variable discreta continua ". En resumen, un zonotopo es un conjunto de la forma $$\{a_1 \vec{x}_1 + \cdots + a_m \vec{x}_m \:|\: a_1,\dots,a_m\in[0,1]\}$$ donde $\vec{x}_1,\dots,\vec{x}_m\in \mathbb{R}^n$ son fijos. Esto es como un paralelotopo, excepto que los vectores $\vec{x}_j$ no tienen por qué ser linealmente independientes (p. ej. $m$ puede ser mayor que $n$ ). El volumen de un zonotopo de este tipo viene dado por $$ \sum_{S\subset \{1,\dots,m\}, |S|=n} |\det[x_i]_{i\in S}|$$ que significa: "Toma cualquiera n de los m vectores $\vec{x_i}$ y calcular el volumen del paralelótopo formado por estos n vectores en $\mathbb{R}^n$ . Suma todos los paralelotopos y obtendrás el volumen del zonotopo".

Answer 1

(1) Un pequeño añadido a su lista: Los elipsoides son transformaciones lineales de las esferas. Si $M$ es una transformación lineal aplicada a la esfera $S$ entonces el volumen del elipsoide es vol $(S) \cdot$ det $(M)$ .

He aquí una referencia explícita: Wilson, A. John. "Volumen de elipsoide n-dimensional". Sciencia Acta Xaveriana . 2009.

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Eso debe ser $a_1 a_2 a_3 \cdots$ . Error tipográfico: comas → multiplicación.

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(2) He encontrado esta referencia, pero no el artículo en sí:

"La $(n+1)$ -Volumen de un $n$ -Torus". Enlace .

Answer 2

He encontrado un par de ejemplos más:

1) Politopos cruzados. Son generalizaciones del octoedro. Wikipedia tiene una buen artículo en ellos, y el politopo cruzado n-dimensional estándar tiene volumen $\frac{2^n}{n!}$ .

2) Conos. Un cono se forma a partir de una forma base de codimensión 1 y un punto a cierta altura $h$ por encima de la base. En n dimensiones, si la base tiene $(n-1)$ volumen $A$ entonces el cono tiene $n$ volumen $\frac{Ah}{n}$ .