¿Cómo calculo el valor de esta serie?

Question

Quiero encontrar el valor al que converge esta serie $$ \sum_ {n=0}^ \infty \frac {(-1)^n}{n^2+1}$$

Intenté mirar la secuencia de sumas parciales $$S_k = \sum_ {n=0}^k \frac {(-1)^n}{n^2+1}$$ y me di cuenta de que $$ \frac {-1}{n^2+1} \leq \frac {(-1)^n}{n^2+1} \leq \frac {1}{n^2 +1}$$ y por eso creo que por la regla de compresión puedo ver (podría haberlo notado por lógica, pero está bien) que los términos convergen en cero. ¿Cómo encuentro el valor de la serie original? Sólo pude mostrar que convergió

Answer 1

Puede que te des cuenta de eso: $$ \frac {1}{n^2+1} = \int_ {0}^{+ \infty } \sin (x)e^{-nx}\,dx \tag {1}$$ de la cual $^{(*)}$ : $$ S= \sum_ {n \geq 0} \frac {(-1)^n}{n^2+1}=1+ \int_ {0}^{+ \infty } \sin (x) \sum_ {n \geq 1}(-1)^n e^{-nx}\,dx \tag {2}$$ y: $$ S = 1- \int_ {0}^{+ \infty } \frac { \sin (x)}{e^x+1}\,dx = \color {red}{ \frac {1}{2} \left (1+ \frac { \pi }{ \sinh\pi } \right )} \tag {3}$$ donde la última igualdad se deriva de la integración por partes y el teorema del residuo. Lo mismo se puede probar considerando las series de coseno de Fourier de $ \cosh (x)$ durante el intervalo $(- \pi , \pi )$ .

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Otro enfoque (euleriano). Es claramente suficiente para calcular $ \sum_ {n \geq 1} \frac {1}{n^2+1}$ y $ \sum_ {n \geq 1} \frac {1}{4n^2+1}$ .
Del producto de Weierstrass para el $ \sinh $ función que tenemos $$ \frac { \sinh ( \pi z)}{ \pi z}= \prod_ {n \geq 1} \left (1+ \frac {z^2}{n^2} \right ) \tag {4}$$ y aplicando $ \frac {d}{dz} \log ( \cdot )$ a ambos lados: $$ - \frac {1}{z}+ \pi\coth ( \pi z) = \sum_ {n \geq 1} \frac {2z}{z^2+n^2} \tag {5}$$ Por fin sólo tenemos que evaluar el LHS de $(5)$ en $z=1$ y $z= \frac {1}{2}$ .

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$(*)$ El intercambio de $ \sum $ y $ \int $ está permitido por la convergencia absoluta de las series $ \sum_ {n \geq 0} \frac {(-1)^n}{n^2+1}$ la desigualdad trivial $ \left | \sin (x) \right | \leq x$ y el dominó el teorema de la convergencia . Para cualquier $x>0$ tenemos $$ \sum_ {n=1}^{N} e^{-nx} \leq \frac {1}{e^x-1} $$ y $ \frac {x}{e^x-1}$ es una función que pertenece a $ \mathcal {L}^1( \mathbb {R}^+)$ cuya integralidad sobre $ \mathbb {R}^+$ es igual a $ \zeta (2)= \frac { \pi ^2}{6}$ .

Answer 2

Extender la suma $S$ a $$ 2S-1 = \sum_ {n=- \infty }^{ \infty } \frac {(-1)^n}{n^2+1}, $$ que podemos salirnos con la nuestra porque el sumando está incluso en $n$ . Queremos encontrar algo que nos dé estos como residuos, y luego usar el teorema de Cauchy, esperando que la integral llegue a cero. Por lo tanto, tomamos $$ \frac { \pi\csc { \pi z}}{z^2+1}: $$ esto tiene polos en $z=n$ con residuos $ (-1)^n/(n^2+1) $ y otros dos, en $ \pm i$ con residuos $ \frac { \pi \operatorname {csch}{( \pm \pi )}}{ \mp 2i} $ . Además, si tomamos la integral para estar alrededor de un gran cuadrado que entre los polos, se puede mostrar usando $ \lvert\sin {(x+iy)} \rvert ^2 = \sin ^2{x}+ \sinh ^2{y} $ y el correspondiente para el coseno que el integrando está limitado en el borde del cuadrado por un múltiplo de $1/(x^2+y^2)$ y por lo tanto la integral tiende a cero a medida que hacemos el cuadrado cada vez más grande. Por lo tanto $$ \frac {1}{2 \pi i} \left ( 2S_k-1 - \frac {2 \pi\operatorname {csch}{ \pi }}{2} \right ) = \int_ { \square_k } \frac { \pi\csc { \pi z}}{z^2+1} \, dz \to 0 $$ como $k \to \infty $ y luego puedes reorganizarte para obtener la respuesta.

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La idea general es que $ \pi\cot { \pi z}$ tiene residuos $1$ en cada número entero $n$ mientras que $ \csc { \pi z}$ tiene residuos $(-1)^n$ en cada número entero $n$ . La misma técnica funciona en cualquier suma de la forma $1/p(n^2)$ (o $(-1)^n/p(n^2)$ ) donde $p$ es un polinomio no constante, aunque hay que encontrar las raíces.