Vamos a empezar muy fundamentalmente. Muchas de las matemáticas se refiere sobre conjuntos de objetos y conjuntos de funciones de asignación de uno o más de los objetos de uno a otro.
Veamos ahora el caso de que tenemos un conjunto de $X$ y una función de $f$ toma dos elementos de ese conjunto y le da una tercera, que es, $f:X\times X\to X$. Tenga en cuenta que esto es sólo una función arbitraria actuar sobre dos elementos de un conjunto arbitrario. Ahora bien, si tenemos una función de este tipo a menudo, nos gusta escribir $f(x,y)$ en un ligeramente más sencillo formulario. Esto por lo general es algo como $x*y$, $x\cdot y$ o, simplemente,$xy$, pero especialmente si $f(x,y)=f(y,x)$ (y en algunos casos raros, incluso si no), no es raro escribir $f(x,y)=x+y$. Bueno, por lo general, quieren un par de otras condiciones, pero por el momento no necesitamos ni aquellos. Así que en este punto, todo lo que nos importa es que el $x+y$ toma dos elementos de un conjunto $X$, y le da otro elemento del mismo conjunto de $X$.
Ahora echemos un vistazo a dos conjuntos de $X$$Y$, ambos vienen con sus propios $+_X$ $+_Y$ (esto incluye el caso de que $X=Y$$+_X=+_Y$). Ahora, como con cualquiera de los dos conjuntos, se puede considerar funciones de$X$$Y$. Sin embargo, hay ciertas funciones que son especiales: a Saber, las funciones de $\phi:X\to Y$ que respeten nuestras adiciones. Es decir, $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(x)$. Ahora bien, si hacemos esto mucho, nos puede gustar a omitir los paréntesis siempre que sea posible, es decir, escribir la función de la aplicación como producto de la función y el argumento. El ejemplo más importante de esto es que los operadores de álgebra lineal. Si hacemos eso, la mencionada ley se lee:
$$\phi(x+y) = \phi x + \phi y$$
Voila, un distributiva de la ley!
Pero espere, hay más: Dadas dos funciones $\phi:X\to Y$$\chi:X\to Y$, es natural que se pregunte acerca de la función de $x\mapsto \phi(x)+\chi(x)$. Ahora esto le da una función operativo en funciones de $X\to Y$, que tiene dos funciones y devuelve una nueva función. Que la nueva función es exactamente la función que se aplica a $\phi$ $\chi$ a su argumento y, a continuación, añade que el resultado. Es natural considerar que la función en funciones también como la suma (el término técnico es "pointwise además"), y de nuevo denota con $+$. Así, utilizando el producto de la notación de función de la aplicación, que nos tienen, por definición,
$$(\phi + \chi)x = \phi x + \chi x$$
Listo, otro distributiva de la ley!
OK, así que ahora, ¿de dónde los números? Bien, ahora vamos a considerar uno de los requisitos adicionales que no he hablado anteriormente: es decir, nosotros también requieren de una operación que queremos llamar a $+$ que es asociativa, es decir, $(a+b)+c = a+(b+c)$. Esto significa que cuando se suman muchas cosas, básicamente, puede omitir los paréntesis.
Esto significa, en particular, que si repetidamente agregar algo para sí, como $b+b+b+\dots+b$, lo que importa es cuántas $b$s que tienes en esa suma. Por lo tanto volvemos a introducir una nueva multiplicación, esta vez con un entero positivo $n$:
$$nb = \underbrace{b+b+\dots+b}_{n\text{terms}}$$
Tenga en cuenta que esto también podría ser visto como una interpretación de la entero $n$ como una función que toma un argumento $b$ y devuelve una suma de $n$ $b$s. Es decir, hemos funciones
\begin{align}
1&:x\mapsto x\\
2&:x\mapsto x+x\\
3&:x\mapsto x+x+x\\
&\vdots
\end{align}
Ahora nos preguntamos: ¿Son estas "número de funciones" de las funciones que respecto a la adición de la estructura? Bien, vamos a probar por ejemplo con $3$:
\begin{align}
3(x+y) &= (x+y)+(x+y)+(x+y) && \text{Definition of multiplication with %#%#%}\\
&= x+y+x+y+x+y && \text{because we require associativity}\\
&= x+x+x+y+y+y && \text{because we earlier required *commutativity* (%#%#%)}\\
&= 3x + 3y && \text{again, definition of multiplication}
\end{align}
El mismo funciona de curso con cualquier $3$ (una estricta prueba matemática es ligeramente más implicado). Por lo tanto tenemos:
$x+y=y+x$$
De nuevo, un distributiva de la ley.
Ahora, mediante la interpretación de los números como de las funciones como en el anterior, obtenemos una adición, es decir pointwise adición. Y por supuesto, tenemos que el número normal de adición. Pero no es difícil comprobar que los dos adiciones, de hecho, dan resultados idénticos, es decir, pueden considerarse como la misma suma.
Pero para pointwise además, ya sabemos que hay una ley distributiva, lo que lleva también a multiplicaciones con números:
$n$$
OK, ahora vamos a considerar el caso en que $$n(x+y) = nx + ny$ es en realidad un conjunto de números por sí mismo, y $$(m+n)x = mx + nx$ es el normal de la adición de números. Entonces, evidentemente, usted recuperar la costumbre de la multiplicación, y la correspondiente ley distributiva.
Para la distribución, las leyes se producen naturalmente, en muchos contextos que sólo requieren que una operación binaria existe sin hacer ningún otro requisito, y preguntar acerca de las operaciones que respecto de la operación, y para las operaciones que implican números, sólo con el requisito adicional de que la suma es asociativa y conmutativa (dos cosas que generalmente la demanda de las operaciones que llamamos "suma").
