No hay secuencia $X_n$ tal que $\forall n(\mathscr P(X_{n+1})\preceq X_n)$ .

Question

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio de Kunen:

Definir, en ZF sin el axioma de regularidad, $\aleph(X)=\{\alpha: > \exists f \in \, ^\alpha X(f \text{ is } 1-1\}$ . Mostrar:

1. $\aleph(X)<\aleph(\mathscr P(\mathscr P(\mathscr P(X))))$
2. No hay secuencia $\langle X_n: n \in \omega\rangle$ tal que $\forall n(\mathscr P(X_{n+1})\preceq X_n)$ .
3. El axioma de elección implica que $\aleph(X)=|X|^+$ siempre que $X$ es infinito.

Ya he demostrado 1. y 3., pero no sé qué hacer con 2. Pensar sin AC es difícil :p

Answer 1

SUGERENCIA: Utiliza la primera parte para demostrar que a partir de dicha sucesión se obtiene una sucesión decreciente de ordinales.

Sea $\kappa_n=\aleph(X_n)$ se puede observar que $\kappa_{n+3}<\kappa_n$ por esa primera parte, y la observación trivial de que $X\preceq Y\implies\aleph(X)\leq\aleph(Y)$ .

Answer 2

En primer lugar, observe que si $X \preceq Y$ entonces $\aleph(X) \leq \aleph(Y)$ : Desde $\aleph(Y) \not \preceq Y$ se deduce que $\aleph(Y) \not \preceq X$ . Desde $\aleph (X)$ es el ordinal más pequeño $\alpha$ satisfaciendo $\alpha \not \preceq X$ se deduce que $\aleph(X) \leq \aleph(Y)$

Ahora, supongamos que tal secuencia existe. dada $n \in \omega$ observe que $\aleph(X_n) \geq \aleph(\mathscr P(X_{n+1}))\geq\aleph(\mathscr P^2(X_{n+2}))\geq \aleph(\mathscr P^3(X_{n+3}))>\aleph(X_{n+3})$ . Por lo tanto, la secuencia $\langle \aleph(X_{3n}): n \in \omega\rangle$ es una secuencia estrictamente decreciente.