Cómo obtener el sobre inyectivo y cubierta proyectiva de un módulo determinado

Question

Dado un carcaj consolidado $(Q, I)$ y una representación $M$ $Q$, ¿cómo obtener el sobre inyectivo y cubierta proyectiva de $M$? ¿Cómo darle el correspondiente esencial monomorfismo y epimorphism superfluo? ¿Hay un método general o específico?

Answer 1

Supongo que usted sabe las notaciones $S(i), P(i), I(i)$ por la simple, proyectiva, y la inyectiva módulo (respectivamente) asociado al vértice $i$. Cada uno de estos módulos es fácilmente definible por lo que cualquier texto en el módulo de teoría de la ruta de álgebras y sus cocientes tendrá sus definiciones.

También voy a suponer que usted sabe cómo encontrar el radical y el zócalo de cualquier módulo. De nuevo esto es algo estándar que puedes encontrar en cualquier texto de esta materia. Se le da un módulo como una representación de la aljaba y escribir una nueva representación de acuerdo a algunas reglas básicas.

Ahora algunos hechos:

• La proyectiva de la cubierta y envolvente inyectiva de a $S(i)$ $P(i)$ $I(i)$ respectivamente.
• Si $M$ $N$ han proyectiva cubre $P(M)$$P(N)$, respectivamente, a continuación, $M \oplus N$ ha proyectiva de la cubierta $P(M) \oplus P(N)$. Lo mismo es cierto para inyectiva sobres.
• La proyectiva de la cubierta de $M$ es isomorfo a la proyectiva de la cubierta de la parte superior, $M/\operatorname{rad}M$$M$.
• La envolvente inyectiva de a $M$ es isomorfo a la inyectiva sobre el zócalo de $M$.

Y eso es todo lo que usted necesita saber. Así, por ejemplo, si desea que el esencial surjection de la proyectiva de la cubierta de $M$ $M$que hacer lo siguiente:

1. Encuentra los mejores: $\operatorname{top}M = M/\operatorname{rad}M$.
2. La parte superior es un módulo sencillo para descomponer en simples: $\operatorname{top}M = \bigoplus_i S(i)^{a_i}$
3. La proyectiva de la cubierta de $M$$P(M) = \bigoplus_i P(i)^{a_i}$. Cada una de las $P(i)$ tiene una evidente mapa de $P(i) \to S(i)$, así que conseguir un surjection $P(M) \to \operatorname{top}M$.
4. Como $P(M)$ es proyectiva, el mapa de $P(M) \to \operatorname{top}M$ factores a través de la surjection $M \to \operatorname{top}M$. El mapa de $P(M) \to M$ que se obtiene de factoring es la esencial surjection de la proyectiva de la cubierta de $M$ a $M$.

Para obtener inyectiva sobres es exactamente el mismo conjunto de pasos, sólo dualized de modo que usted está computación inyecciones en lugar de surjections.