¿Por qué es la función Gamma de Euler "el mejor" de la extensión de la función factorial a los reales?

Question

Hay un montón (infinitud) de las funciones lisas, que coincide con f(n)=n! en los números enteros. Hay una razón simple de por qué la función Gamma de Euler $\Gamma (z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^t dt$ es "mejor"? En particular, estoy buscando las razones que me puede explicar para el primer año de cálculo estudiantes.

Answer 1

La Bohr–Mollerup teorema muestra que la función gamma es la única función que satisface las propiedades

• $f(1)=1$;
• $f(x+1)=xf(x)$ for every $x\geq 0$;
• $\log f$ es una función convexa.

La condición de registro-convexidad es particularmente importante cuando uno quiere probar varias de las desigualdades de la función gamma.

---

Por cierto, la función gamma es no es la única función de meromorphic la satisfacción de $$f(z+1)=z f(z),\qquad f(1)=1,$$ sin ceros y polos no otros de los puntos de $z=-n$, $n=0,1,2\dots$. Hay toda una familia de tales funciones, que, en general, tiene la forma $$f(z)=\exp{(-g(z))}\frac{1}{z\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m}},$$ donde $g(z)$ es una función tal que $$g(z+1)-g(z)=\gamma+2k\pi i,\quad k\in\mathbb Z, $$ ($\gamma$ es la constante de Euler). La función gamma corresponde a la opción más sencilla $g(z)=\gamma z$.

Answer 2

En realidad, hay otros (con menos frecuencia) utilizar las extensiones para el factorial, con diferentes propiedades de la función gamma que puede ser deseable en algunos contextos.

La Función Gamma de Euler

Hadamard de la función Gamma

Luschny la función factorial

---

Consulte aquí para obtener más información.

Answer 3

Por la razón que sea, la Naturaleza (por que me refiero a las integrales) parece preferir la función Gamma como la "correcta" un sustituto para el factorial en diversos integrales, que parece venir más o menos a partir de su definición de integral. Por ejemplo, para enteros no negativos $a, b$, no es difícil demostrar (y no hay realmente un buen argumento probabilístico) que

$\displaystyle \int_{0}^1 t^a (1 - t)^b \, dt = \frac{a! b!}{(a+b+1)!}.$

Para (no negativo?) los valores reales de a $a$ and $b$ la generalización es correcta

$\displaystyle \int_0^1 t^a (1 - t)^b \, dt = \frac{\Gamma(a+1) \Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+2)}.$

Y, por supuesto, las integrales son importantes, por lo que la función Gamma también debe ser importante. Por ejemplo, la función Gamma aparece en la fórmula general para el volumen de una n-esfera. Pero el resultado de que, para mí, realmente nos obliga a tomar la función Gamma en serio es su aparición en el funcional de la ecuación de la de Riemann zeta función.

Answer 4

Wielandt del teorema dice que la gamma-función es la única función de $f$ que satisface las propiedades:

• $f(1)=1$
• $f(z+1)=zf(z)$ for all $z>0$
• $f(z)$ is analytic for $\operatorname{Re}z>0$
• $f(z)$ is bounded for \leq \operatorname{Re}z\leq 2$

(Ver también los relacionados con la MathOverflow hilo Importancia de Registro de la Convexidad de la Función Gamma, donde aprendí sobre el teorema anterior.)

Answer 5

Este es un comentario publicado como una respuesta a la falta de reputación.

Siguiente Qiaochu de Yuanes, la función gamma se muestra en la ecuación funcional de la función zeta como un factor en el producto de Euler correspondiente al "primer al infinito", y se produce allí como el Mellin transformar de alguna función de gauss. (Gauss funciones producen a su vez como vectores propios de la transformada de Fourier.)

Esta es al menos tan antigua como la galería Tate de la tesis, y una posible referencia es Weil Básicos de la Teoría de números.

EDIT. Artin fue uno de los primeros en popularizar el registro de la propiedad de convexidad de la función gamma (ver su libro en la función en cuestión), y también, quizás, el primer matemático para comprender este Euler-factor-a-infinito aspecto de la misma función (fue la Tate asesor de tesis). Pensé que su nombre debía ser mencionado en la discusión acerca de la función gamma.