Prueba detrás de $S^n\cong SO(n+1)/SO(n)$

Question

He estado tratando de entender el hecho de que $S^n \cong SO(n+1)/SO(n)$. Creo que tengo la intuición correcta en este punto, considere el caso en que $n=2$ como $S^2 \cong SO(3)/SO(2)$.:

Estamos tratando de encontrar la correspondencia entre las rotaciones en $\mathbb{R}^3$ y los puntos de $S^2$. Al principio yo creía erróneamente que estos espacios son isomorfos, sin embargo, uno se da cuenta entonces de que hay más rotaciones de puntos en una esfera, en el siguiente sentido:

Considerar el punto de $p$ al "polo norte" de la esfera $S^2$. Podemos corresponden $p$ con cualquier punto de la esfera por la rotación de la esfera, es decir, mediante la aplicación de elementos en $SO(3)$, de modo que $p$ termina en cualquier lugar. Sin embargo, lo primero que se puede aplicar a cualquier rotación alrededor de la $z$-eje (a través de $p$). Así, por "modding" estas rotaciones, que son exactamente los elementos de $SO(2)$, tenemos nuestra isomorfismo.

Estoy buscando alguien que me ayude a formalizar esta en una prueba. Gracias!

Answer 1

Se trata básicamente de la órbita–estabilizador teorema.

$SO(3)$ hechos por las rotaciones en $\mathbb R^3$. Esta acción se restringe a una acción transitiva en a $S^2$. Revisión de un vector en $S^2$, decir $e_1 = (1,0,0)$. Uno tiene un mapa continuo $SO(3) \to S^2$$A \mapsto Ae_1$. El subgrupo de $SO(3)$ estabilización $e_1$, el "núcleo" de este mapa, al abuso de lenguaje, es el bloque-diagonal subgrupo $H = \{1\} \times SO(2)$. De ello se deduce que el cociente $SO(3)/H$ está en continuo bijection con $S^2$. Debido a que ambos son espacios compactos de Hausdorff, es un homeomorphism.

Como parece que se han dado cuenta, no hay nada especial acerca de la $n=3$ en este resultado.