Teorema de la densidad de Lebesgue - intuición y formas más débiles

Question

El Teorema de la Densidad de Lebesgue afirma que dado un conjunto medible $E$ en la recta real, entonces el conjunto de puntos $E'$ para lo cual $\lim_{h \to 0} \frac{m(E \cap (x-h,x+h) )}{2h} = 1$ es $E$ hasta un conjunto nulo, es decir $m(E \Delta E') = 0$ . Lo interpreto de la siguiente manera: un conjunto medible se comporta localmente como un intervalo, en cuanto a la medida.

Pido lo siguiente:

1. Otras interpretaciones, quizás más correctas
2. ¿Intuición de por qué esto es cierto? La única intuición que conozco es que el teorema es una consecuencia fácil en el caso de un conjunto abierto, y un conjunto medible es casi un $G_{\delta}$ conjunto (intersección de un número contable de conjuntos abiertos).
3. Pruebas interesantes (conozco una prueba que utiliza el regulador de la medida de Lebesgue, es decir, la capacidad de aproximar la medida del conjunto $E$ cerrar arbitrariamente por cerrado \open conjuntos contenidos \containing $E$ . ¿Hay alguna prueba diferente?)
4. Una consecuencia directa del lema es que para casi todo $x\in E$ que tenemos: $\forall h>0 m(E\cap (x-h,x+h)) > 0$ . ¿Existe una prueba sencilla para esto, que no utilice el Teorema de la Densidad de Lebesgue?
5. Según mi intuición, un conjunto cerrado no denso en ninguna parte (conjunto cerrado que no contiene un intervalo) de medida positiva (digamos, el conjunto 'grueso' de Cantor) podría contradecir el teorema (pero no lo hace). Sé que la densidad topológica y la medida positiva no se implican mutuamente, pero aun así, no me resulta trivial ver cómo funciona el teorema en este caso.

Answer 1

No sé si esta es una interpretación más correcta o una demostración más interesante, pero siempre me imaginé el teorema de la densidad como un corolario del Teorema de la Diferenciación de Lebesgue, que dice que para $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ , $Q_x \subset \mathbb{R}^n$ un cubo centrado en $x$ y $|\cdot|$ denotando la medida de Lebesgue,

$$\lim_{|Q_x|\searrow 0} \frac{1}{|Q_x|} \int_{Q_x} f(y) dy = f(x) \text{ for a.e. $ x \in \mathbb {R}^n $}.$$

Dado que la función indicadora $\chi_E(x)$ de un conjunto medible $E$ con medida finita está en $L^1$ podemos utilizar este teorema para decir que

$$\lim_{|Q_x|\searrow 0} \frac{|E \cap Q_x|}{|Q_x|} = \chi_E(x) \text{ for a.e. $ x \in \mathbb {R}^n $}.$$

Al dividir cualquier conjunto medible en trozos medibles con medida finita, creo que el resultado se sigue también para conjuntos medibles generales.

En este sentido, el teorema de la densidad dice básicamente que la función indicadora de un conjunto medible obedece al (versión de Lebesgue del) teorema fundamental del cálculo.

Answer 2

Me gusta pensar en ello en términos de probabilidad: cualquier suceso que pueda ocurrir (es decir, cualquier conjunto con probabilidad distinta de cero) tiene una probabilidad arbitrariamente alta de ocurrir en algún intervalo.