Diferentes aplicaciones de los teoremas de Sylow

Question

Los teoremas de Sylow son muy conocidos y casi todos los matemáticos los aprenden en su curso de licenciatura.

Las aplicaciones de los teoremas de Sylow que se dan en los libros son del tipo

"Si $|G|=....$ entonces demuestre que $G$ no es simple/ $G$ es solucionable/ ..."

Me gustaría saber si hay otras aplicaciones interesantes de este teorema.

Answer 1

Conozco exactamente otra aplicación directa de los teoremas de Sylow fuera de la teoría de grupos, que es para demostrar el teorema fundamental del álgebra.

Supongamos que $K$ es una extensión de Galois de $\mathbb{R}$ . Intentaremos demostrar que, o bien $K = \mathbb{R}$ o $K = \mathbb{C}$ . (En particular, $\mathbb{C}$ por lo tanto, debe ser algebraicamente cerrado). Sea $G$ sea su grupo de Galois y sea $H$ sea el Sylow $2$ -subgrupo de $G$ .

Por la teoría de Galois, $K^H$ es una extensión impar de $\mathbb{R}$ . Pero $\mathbb{R}$ no tiene extensiones Impares no triviales: cualquier extensión de este tipo tiene como elemento primitivo algo con un polinomio de grado impar mínimo sobre $\mathbb{R}$ pero cualquier polinomio de este tipo tiene una raíz por el teorema del valor intermedio. Por lo tanto, $K^H = \mathbb{R}$ o, por el contrario $H = G$ Así que $G$ ha pedido un poder de $2$ .

Pero ahora $K$ es una extensión cuadrática iterada de $\mathbb{R}$ y es fácil demostrar explícitamente mediante la fórmula cuadrática que la única extensión cuadrática no trivial de $\mathbb{R}$ es $\mathbb{C}$ que a su vez no tiene extensiones cuadráticas no triviales.

Answer 2

El teorema fundamental del álgebra es probablemente el mejor ejemplo, pero ¿qué tal la siguiente prueba de que un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un campo es cíclico?

Dejemos que $G \subset F^\times$ sea finito. Sea $H_p$ ser un $p$ -Sylow subgrupo. Entonces, si $|H_p|=p^k$ afirmamos que $H_p$ es simplemente el conjunto de todas las raíces en $F$ del polinomio $x^{p^k}-1$ Cada elemento de $H_p$ es una raíz por el teorema de LaGrange, y no puede haber más raíces ya que el grado del polinomio es $p^k$ . Usando esto, es fácil ver que $H_p$ es cíclico: es generado por cualquier $y \in H_p$ tal que $y^{p^{k-1}}\neq 1$ (tales $y$ existen porque sólo hay $p^{k-1}$ raíces de $x^{p^{k-1}}-1$ ). Pero ahora desde $G$ es abeliana, $G$ es el producto directo de sus subgrupos de Sylow (aquí es donde se utiliza el teorema de Sylow - aunque también se podría utilizar la teoría de grupos abelianos...), que son todos cíclicos de orden relativamente primo.

Answer 3

Dejemos que $p$ sea un número natural mayor que $1$ . Entonces $p$ es primo si y sólo si $(p-1)! \equiv -1 \mod p$ .

Este es el teorema de Wilson. Se puede demostrar utilizando el teorema de Sylow.

De hecho, la implicación $\Leftarrow$ es bastante elemental, pues la implicación $\Rightarrow$ , si $p$ es un primo el grupo simétrico $G=S_p$ de grado $p$ contiene exactamente $(p-1)!$ elementos de orden $p$ ( $p$ -): esto también es elemental. Cada uno de ellos genera un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ porque el orden de los Sylow $p$ -subgrupos de $G$ es exactamente $p$ .

Se deduce que el número de Sylow $p$ -subgrupos de $G$ es $(p-1)!/(p-1)= (p-2)!$ ya que cada Sylow $p$ -subgrupo de $G$ contiene precisamente $p-1$ elementos de orden $p$ y dos Sylow cualesquiera $p$ -subgrupos de $G$ se cruzan trivialmente.

El teorema de Sylow implica entonces que $(p-2)! \equiv 1 \mod p$ y el resultado se obtiene multiplicando ambos lados por $p-1$ .

Answer 4

Los teoremas de Sylow desempeñan a menudo un papel crucial para encontrar todos los grupos de un determinado orden. Por ejemplo, todos los grupos de orden $pq$ o todos los grupos de orden $p^n$ , donde $p$ y $q$ son primos se puede encontrar de esta manera. Puede encontrar más información en este libro de J.S. Milne, capítulo 5.