¿Espacio tangente del paquete de la cotangente en sección de cero?

Question

Que $M$ sea un múltiple diferenciable con cotangente paquete $T^*M$.

¿Cómo puedo probar que $T_{(p,0)}T^*M$ es naturalmente isomorfo a $T_pM\oplus T_pM^*$?

Si esto cierto, entonces creo que podría probar que la arpillera de $f\colon M\to \mathbb{R}$ está bien definida (es decir, sin la opción de conexión o Riemannian métrico) en el punto crítico de $f$.

Esto no es cualquier tarea.

Answer 1

Las cosas son mucho más agradables, es decir, más general y canónica que eso!

Considere la posibilidad de cualquier vector paquete de $\pi:V\to M$$M$. A continuación, tiene la canónica de la secuencia exacta de vector de paquetes en $V\;$ (sí, el vector de paquetes en un vector paquete!) :

$$ 0\to T_{vert}(V) \to T(V) \stackrel {d\pi}{\to} \pi^*T(M) \to 0 \quad (*)$$

Profunda, eh? No, en absoluto!
Esta es sólo una forma elegante de mirar el diferencial del mapa de $\pi: V\to M$. Con el fin de que tanto la tangente paquetes de $V$ $M$ viven en $V$, usted tiene que tire $T(M)$$V$: es por eso que hemos $\pi^* T(M)$ a la derecha. El kernel es el conjunto de vectores tangente vertical a $V$, aquellos que se encuentran a lo largo de las fibras de $V$.
Ahora si se restringen (*) a la sección cero de $V$, identificado a $M$, se obtiene

$$ 0\to V \to T(V)|M \stackrel {d\pi}{\to} T(M) \to 0 \quad (**) $$

El único punto que vale la pena mencionar es la identificación del vector paquetes de $T_{vert}(V)|M$$V$. Todo se reduce al hecho de que para un espacio vectorial $E$ la tangente bundle $T_a(E)$ en cualquier punto de $a\in E$ es canónicamente isomorfo a $E$ sí.
Huelga decir que, tomando las fibras de los paquetes en (**) en un punto de $p\in M$ le dará lo que quería si usted toma $V=T^*(M)$.