He encontrado una pregunta sobre si existen métodos generales para resolver ecuaciones diofantinas de segundo grado. No he podido encontrar una respuesta, ¿se sabe esto? En particular, el escritor original quiere saber si uno puede encontrar todos los enteros que satisfacen $x^2 + x = y^2 + y + z^2 + z$ .
Sobre el algoritmo: Hay es un algoritmo que determinará, dado cualquier cuadrático $Q(x_1,\dots,x_n)$ como entrada, si la ecuación diofantina $Q(x_1,\dots,x_n)=0$ tiene una solución. Esto es algo que yo (y otros) observamos hace bastante tiempo. No tengo conocimiento de una bonito algoritmo.
Poner una máquina $M_1$ para buscar soluciones de forma sistemática. Otra máquina $M_2$ comprueba simultáneamente si existe una solución real (fácil) y luego comprueba sistemáticamente para cada módulo $m$ si existe una solución modulo $m$ .
Por el Principio de Hasse (que en este caso es un teorema), si nuestra ecuación tiene soluciones "locales" (reales y módulo $m$ por cada $m$ ) entonces tiene una solución entera. Por lo tanto, o bien $M_1$ se topará con una solución o $M_2$ encontrará un obstáculo local para una solución. Por lo tanto, el algoritmo termina.
La pregunta correspondiente para los cúbicos no está resuelta. La misma pregunta para los cuárticos (en un número arbitrario de variables) es equivalente al problema general de comprobar la solvencia de una ecuación diofantina, por lo que es recursivamente irresoluble.
Añadido: Creo que los detalles están escritos en el libro Teoría lógica de los números I por Craig Smorynski. Muy buen libro, por cierto.
Así que sólo hay un número finito de $m$ ¿se debe comprobar? Si no recuerdo mal, la máquina de Turing debería detenerse después de un número finito de pasos para cada entrada.
Existe un algoritmo para decidir si una ecuación polinómica multivariable de grado 2 tiene solución en números enteros, debido a Siegel, Zur Theorie der quadratischen Formen, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1972, 21-46. Véase también Grunewald y Sigel, On the integer solutions of quadratic equations, J. Reine Angew. Math. 569 (2004), 13-45.
Pero el principio de Hasse por sí mismo no da un algoritmo: sólo es válido para soluciones racionales, no para soluciones enteras.
Reescribe esta ecuación de forma un poco diferente. $$X (X +a)+Y (Y +a)=Z (Z +a)$$
A continuación, se pueden escribir las fórmulas de la solución, $p,k$ - donde son números enteros y nos establece.
$$X =pk$$ $$Y =\frac{(p^2 –1)k}{2} +\frac{(p–1)a}{2}$$ $$Z =\frac{( p^2 +1)k}{2} +\frac{(p–1)a}{2}$$
Si utilizamos las soluciones de la ecuación de Pell $p^2 –2 s^2 =1$
Entonces la solución se puede escribir: $$X =2(s+p)sL+as(2s+p)$$ $$Y =(2s+p)pL+as(2s+p)$$ $$Z =(2 s^2 +2ps+ p^2 )L+2as(s+p)$$
Y más. $$X =2s(s–p)L+ap(s–p)$$ $$Y =(p–2s)pL+ap(s–p)$$ $$Z =(2 s^2 –2ps+ p^2 )L+ap(2s–p)$$
$L$ - dado por nosotros y puede ser cualquier número entero.
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Para su ecuación, como explicó Will Jagy, esto equivale a buscar todas las soluciones Impares de $X^2+1=Y^2+Z^2$ . Hay varias familias de soluciones paramétricas. He visto una colección más bonita en alguna parte (¿Piezas?) pero aquí es un comienzo.