2014 USAMO #6, teoría analítica de números

Question

Demuestra que hay una constante $c > 0$ con la siguiente propiedad: Si $a, b, n$ son enteros positivos tales que $ \gcd(a+i, b+j)>1 $ para todo $ i, j\in\{0, 1,\ldots, n\} $ entonces

$$ \min\{a, b\}>c^n\cdot n^{\frac{n}{2}}$$

He reducido esto al siguiente problema:

$$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{p_k^2} \leq \frac{1}{2} $$ donde $p_k$ es el $k$-ésimo número primo. ¿Cómo debo proceder a partir de aquí?

(La estimación numérica dice que la suma es aproximadamente 0.45, así que sería un límite bastante ajustado).

Answer 1

Aquí hay un enfoque:

Tenga en cuenta que $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{p_k^2} \leq \sum_{i = 1}^{k-1} \frac{1}{p_i^2} + \int_{p_k -1}^{\infty} \frac{1}{x^2} = \sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{p_i^2} + \frac{1}{p_k - 1}.$$

Dado que $1/(p_k - 1)\to 0$ a medida que $k \to \infty$, y dado que la suma es estrictamente $< 1/2$, vemos que al tomar $k$ lo suficientemente grande podremos hacer que el lado derecho sea inferior a $1/2$. De hecho, parece que tomando $p_k = 17$ hace el trabajo (si no me equivoqué en los cálculos).