Casi un cubo perfecto

Question

Mientras que la lectura de un viejo libro sobre diophantine ecuaciones, me encontré con este ejercicio:

Encontrar un número infinito de número entero positivo de las soluciones de las ecuaciones $$x^2 + y^2 = u^2$$ $$y^2 + z^2 = v^2$$ $$z^2 + x^2 = w^2$$

He encontrado un par de soluciones a mano, por ejemplo $x=240$, $y = 117$, $z = 44$, y trivialmente múltiplos también producir soluciones, pero supongo que el libro es realmente pidiendo soluciones donde no hay ningún factor común de $x$, $y$, $z$.

He pasado un par de horas tratando de obtener algo de la norma paramétrica de soluciones de $x^2 + y^2 = z^2$ sin éxito, y se preguntó si alguien tiene algún conocimiento que puede ofrecer.

Claramente esto es (ligeramente) conectado con el problema de encontrar un entero cuboide con toda la faz de las diagonales integral, y de la diagonal principal también integral, que supongo que es todavía un problema abierto.

Answer 1

MathWorld da una respuesta de cualquier triángulo pitagórico y observaciones que la Euler encontró dos familias pero que se no agotan todas las posibilidades.

Answer 2

Dado un ladrillo de Euler de las aristas (x, y, z), existe otro ladrillo de euler (yz, xz, xy)
x = 240, y = 117, z = 44 da
x = 5148, y = 10560, z = 28080 que reduce a
x = 429, y = 880, z = 2340
Si aplicas esta técnica para el nuevo ladrillo de Euler, sin embargo, le dará el ladrillo original de Euler

Answer 3

Hay un aspecto interesante de Euler de los ladrillos que se han señalado. Los cuatro más pequeños de Euler ladrillos $1<x<y<z<1000$ ,

$$\begin{array}{ccc} 44&117&240\\ 85&\color{blue}{132}&\color{blue}{720}\\ 88&234&480\\ \color{blue}{132}&351&\color{blue}{720}\\ &\vdots \end{array}$$

Nota shared pares. Algunos de estos "gemelos" puede ser explicado por la identidad,

$$\text{twin}_1 = x,y,z = (a^2-c^2)(b^2-c^2),\;\; 4abc^2,\;\; 2ac(b^2-c^2)$$

$$\text{twin}_2 = x,y,z = (a^2-c^2)(b^2-c^2),\;\; 4abc^2,\;\; 2bc(a^2-c^2)$$

donde $a^2+b^2=5c^2$. Mediante el intercambio de $a,b$, los términos son iguales a excepción de $z$.

Un generalizada de Euler ladrillo tiene,

$$\begin{aligned} &x^2 + y^2 = nu^2\\ &y^2 + z^2 = nv^2\\ &x^2 + z^2 = nw^2 \end{aligned}$$

Para $n=2$, Wroblewski encontró que para los primitivos y distintos $1<x<y<z<6000$ no sólo son siete, a saber,

$$\begin{array}{ccc} 89&191&329\\ 23&289&527\\ 97&553&\color{red}{833}\\ 119&\color{red}{833}&1081\\ 17&697&1127\\ 287&2263&\color{red}{4991}\\ 1871&\color{red}{4991}&5609 \end{array}$$

pero puede ser que allí se muestra es un número infinito, con el más pequeño de la solución ya se sabe que de Euler. La razón por la compartida términos en rojo es desconocido, aunque. Usted puede leer más en el de Euler, Ladrillos y Euler se Cuadruplica.

Answer 4

Este es uno de los problemas sin resolver en http://unsolvedproblems.org/

Tim