¿Cuáles son ejemplos de grupos de tal manera que cada subgrupo finito generado es isomorfo a $\mathbb{Z}$?
Respuestas
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Supongamos que cualquier no-trivial finitely generado subgrupo de $G$ es isomorfo a$\Bbb{Z}$, $G$ sí es trivial. Elija algunos distinto de cero $e \in G$. Para cualquier $g \in G$, el subgrupo $\langle e, g\rangle$ es isomorfo a $\Bbb{Z}$, por lo que, en particular, $ne=mg$ para algunos enteros $m,n$. Definir un mapa de $f:G \to \Bbb{Q}$$g \mapsto n/m$. A continuación, $f$ es un grupo bien definido homomorphism; desde $G$ es de torsiones y $e$ cero, es sencillo comprobar que $f$ es inyectiva. Por lo $G$ es isomorfo a un subgrupo no trivial de $\Bbb{Q}$, que se clasifican, por ejemplo, en este papel.
Xenph Yan
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No hay ningún tal grupo, porque el subgrupo trivial de cualquier grupo es finitamente generado y no isomorfo a $\mathbb{Z}$.
Sin embargo, si restringimos nuestra atención a los subgrupos no trivial, entonces el grupo $\mathbb{Z}$ bajo adición es un ejemplo de tal grupo, como cualquier subgrupo no trivial de $\mathbb{Z}$ es de la forma $n\mathbb{Z}$ $n\geq1$, por lo tanto isomorfo a $\mathbb{Z}$ vía el mapa $f:\mathbb{Z}\to n\mathbb{Z}$, $f(x)=nx$.
Un ejemplo menos obvio es el grupo $\mathbb{Q}$ bajo adición.
