Distancia entre cuatro puntos

Question

Tengo cuatro puntos como se muestra en esta figura:

Quiero calcular un vector para todos estos puntos. Entonces, ¿cuál sería la forma correcta:

1) Tomo el vector entre $A-B, B-C, C-D$ y añadirlos $(A-B + B-C + C-D)$ - por ejemplo: $$A-B = (x_2-x_1)i + (y_2-y_1)j + (z_2-z_1)k$$ 2) Tomar directamente el vector entre $(A-D)$ ¿sería lo mismo?

¿O hay alguna otra solución posible?

Answer 1

En primer lugar, ¡bienvenido a Math Stackexchange!

No existe tal cosa como un representación vectorial única sobre todos estos cuatro puntos.

Matemáticamente, un vector en la escala euclidiana $\mathbb{R}^n$ es una tupla de $n$ números - por ejemplo $$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix},\quad a,b\in\mathbb{R} $$ Si consideras el caso bidimensional, como en tu pregunta.

Entonces, ¿qué son estos vectores usado ¿Para qué?

En primer lugar, puede describir puntos con ella: $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ se refiere al punto que se encuentra por $1$ en el eje X y $2$ en el eje Y.

Si quieres pensar en imágenes, piensa en el vector como una flecha que apunta 1 unidad a la derecha y 2 unidades hacia arriba. No tiene un punto de partida determinado, por esta definición, el vector sólo te habla de la dirección ¡! Pero si usted utilice este vector para describir la ubicación de un determinado punto, hay que imaginar que esta flecha se dibuja desde el origen . En esta situación, el vector "apunta" a este punto. Si un vector describe la ubicación de un punto $A$ se suele escribir $\vec{OA}$ para ello.

Otra cosa que se hace con los vectores es describir la posición relativa de dos puntos entre sí. En este caso, la flecha comenzaría en el punto $A$ y luego punto a punto $B$ . Para este uso de un vector, escribiríamos $\vec{AB}$ .

Geométricamente, se pueden "encadenar" los vectores - matemáticamente, sólo añadir de ellos: $$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$$ Si se invierte la dirección, se convierte en negativo en cada componente: $$\vec{AB}=-\vec{BA}$$

Por ello, se puede concluir, es decir, que $\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$

Por el teorema de Pitágoras, podemos incluso encontrar la longitud de dicho vector: $|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ .

Volviendo a su pregunta original:

Quiero calcular un vector para todos estos puntos

Aparentemente, es simplemente no es posible utilizar un único vector para ello.

Tendrá que describir cada punto por sí mismo, por lo que terminará con $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}$ - o bien eliges, digamos $A$ para ser su primer punto y describir todos los demás puntos relativa a la anterior, lo que le dará $\vec{OA}, \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}$ .

Pero de cualquier manera, usted terminará con cuatro vectores.

EDITAR: Como creo que este puede ser tu problema conceptual real: Puedes obtener un vector de $A$ à $D$ por "pasar" $B$ y $C$ ( $\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}$ ), pero esto al final resultaría en un vector que sólo describe la posición relativa desde $A$ à $D$ - pero se pierde la información con la ayuda de qué vectores has calculado.

EDICIÓN POSTERIOR: Permítanme añadir un poco sobre el componente o notación base :

Hay múltiples formas de describir un vector. en el $\mathbb{R}_n$ una forma es escribirlo directamente, tal como lo hice arriba todo el tiempo - para $n=2$ Esto parece $$\vec{x}:=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix},\quad a,b\in\mathbb{R}$$ .

Pero se puede considerar un vector como una suma de cada componente:

Dejemos que (consideremos $\mathbb{R}_3$ ahora) $$ \vec{i}:=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\ \vec{j}:=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\ \vec{k}:=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\ $$ Sean los "vectores unitarios de $\mathbb{R}^3$ "

Ahora, utilizando la multiplicación escalar, se puede decir $$ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\x_2\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\x_3\end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\ = x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k} $$

Por lo tanto, otra representación de $$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$$ sería $$(a_1-b_1)\vec{i}+(a_2-b_2)\vec{j}+(a_3-b_3)\vec{k}$$

Y no te confundas por cómo he nombrado los componentes: Como alguna vez se pueden usar vectores con más de tres componentes, los matemáticos tienden a no usar $x$ , $y$ y $z$ sino que se utiliza para un vector $\vec{a}$ los componentes $a_1, a_2, \cdots, a_n$ .

Answer 2

La segunda opción estaría limitada por la primera. Véase la desigualdad del triángulo.