Algunos ejemplos de grupos virtualmente cíclicos

Question

La única prácticamente cíclica de los grupos (es decir. los grupos con $\mathbb{Z}$ como subgrupo de índice finito) sé realmente son : los grupos de $F \times \mathbb{Z}$ donde $F$ es un grupo finito y el infinito diedro grupo $D_{\infty}$ (isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_2$).

Pero todos estos grupos son finitely presentado, justo infinito (es decir. su correcto cocientes son finitos) y residual finito (es decir. para todo elemento de a $g$, existe un morfismos $\varphi$ en un grupo finito tal que $\varphi(g) \neq 1$).

Así que estoy buscando ejemplos de prácticamente cíclico grupos sin una de estas propiedades. Sólo sé que existe virtualmente un grupo abelian no sólo-infinito, pero sin tener un ejemplo claro.

Como otros prácticamente abelian grupos, también existe la generalizada diedro grupos $\text{Dih}(G)$ donde $G$ es un infinito finitely generado abelian grupo, pero no sé realmente. Son prácticamente cíclico ?

NB: Los grupos que considero son finitely generado.

Answer 1

En [F. T. Farrell, y L. Jones, El menor algebraica de K-teoría de prácticamente infinito cíclico grupos de K-teoría 9 (1995), 13-30], se muestra que prácticamente infinito-cíclico grupo que tiene la forma de $F \rtimes_{\alpha} \mathbb{Z}$ donde $F$ es un grupo finito, o asigna a $D_{\infty}$ con un finito del núcleo.

Caso 1 : $G=F \rtimes_{\alpha} \mathbb{Z}$. En primer lugar, $G$ es necesario virtualmente infinito-cíclica desde $G=F \mathbb{Z}$ $F$ es finito. Entonces, existe una morfismos $\phi_m$ de manera tal que el siguiente diagrama es conmutativo :

$$\begin{array}{ccc} \mathbb{Z} & \rightarrow^{\alpha} & \text{Aut}(F) \\ & \searrow{\pi_m} & \uparrow{\phi_m} \\ & & \mathbb{Z}_m \end{array}$$

Donde $\text{ker}(\alpha)=m \mathbb{Z}$ $\pi_m : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_m$ es la canónica epimorphism. A continuación, $\varphi_m : \left\{ \begin{array}{ccc} F \rtimes_{\alpha} \mathbb{Z} & \to & F \rtimes_{\phi_m} \mathbb{Z}_m \\ (f,p) & \mapsto & (f,\pi_m(p)) \end{array} \right.$ es una de morfismos. Ya que para todos $k \geq 1$, $\varphi_{km}$ es una de morfismos de $G$ para el grupo finito $F \rtimes_{\phi_m} \mathbb{Z}_m$, podemos deducir que $G$ es residual finito.

Por otra parte, si $F = \langle X |R \rangle$ es de un número finito de presentación de $F$,$G= \langle X,z | R,z^nxz^{-n}=\alpha(z^n) \cdot x, x \in X,n \geq 1 \rangle$. Sin embargo, $\text{ker}(\alpha) \neq \{e\}$, de lo contrario $\text{Aut}(F) \simeq \mathbb{Z}$, mientras que de $\text{Aut}(F)$ es finito. Así que no es de $r \geq 1$ tal que $z^r \in Z(G)$. La presentación anterior, sin repeticiones, es en realidad finita, por lo $G$ es finitely presentado.

Caso 2 : existe un epimorphism $\varphi : G \twoheadrightarrow D_{\infty}$ $F=\text{ker}(\varphi)$ finito. Si $D_{\infty}= \langle a,b | a^2=b^2=1 \rangle$, vamos a $\alpha, \beta \in G$ tal que $\varphi(\alpha)=a$$\varphi(\beta)=b$. Set$A= \langle F,\alpha \rangle$$B= \langle F, \beta \rangle$.

Deje $g \in A$. Podemos escribir $g=w(\alpha,f_1,...,f_n)$$f_1,...,f_n \in F$. Desde $F$ es un subgrupo normal de $G$ existe $g_i \in F$ sucht que $\alpha f_i= g_i \alpha$. Por lo $g= \alpha^n \tilde{w}(f_1,...,f_n,g_1,...,g_n)$. Por lo tanto $F$ es sugroup de índice 2 en $A$ (y también en $B$).

A continuación, puede mostrar que las inclusiones $A,B \hookrightarrow G$ ampliar a un isomorfismo $A \underset{F}{\ast} B$.

En este caso, Baumslag demostrado que $G$ es residual finito y, además, $G$ es finitely presentado desde $A$, $B$ y $C$ son finitos.

Así, en efecto, de un casi infinito-cíclico grupo es finitely presentado y residual finito.

Answer 2

La respuesta existente se limita prácticamente a-cíclico de los grupos, pero la más general de las cosas se puede decir: Finito presentabilidad y residual de la finitud son preservados al pasar de finito índice de subgrupos para el gran grupo. Es decir, supongamos $H$ es un índice finito subgrupo de $G$. A continuación,

• Si $H$ es finitely presentable lo es $G$. Esto puede ser demostrado mediante cubriendo espacios.

• Si $H$ es residual finito entonces es $G$. La manera de probar esto es para recordar que un grupo de $T$ es residual finito si para cada una de las $x\in T$ existe un subgrupo $K_x$ de índice finito en $T$ tal que $x\not\in K_x$. Así, supongamos $x\in G$ y vamos a encontrar un finito índice subgrupo de $G$. si $x\not\in H$ a continuación, se realiza, mediante la adopción de $K_x=H$, mientras que si $x\in H$, entonces existe una $K_x\in H$ tal que $x\not\in K_x$ $K_x$ ha finito índice en $H$. Como $K_x$ ha finito índice en $H$ también ha finito índice en $G$, según se requiera.

Por lo tanto, cada virtualmente-subgrupo cíclico es tanto finitely presentable y residual finito. Por lo que los grupos que usted está buscando no existe!