Si $F=K(u_1,\ldots,u_n)$ es una extensión finitamente generada de $K$ y $M$ es un campo intermedio, $M$ es una extensión finitamente generada de $K$.
No estoy seguro cómo comenzar este problema. Cualquier ayuda en absoluto sería una gran ayuda.
Respuestas
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Gudmundur Orn
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853
En primer lugar, le animo a simplemente tratar de esto con la regla de la torre ($[F:K] = [F:M][M:K]$). Recuerde que usted puede considerar el grado trascendente por separado. Sin embargo, si es insuficiente, yo directamente a esta respuesta sobre en MO.
La respuesta aceptada cubre esta pregunta muy bien, incluyendo los casos de trascendencia.
Henrik
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271
He metido hasta el último momento. Lo que me mostró que no era correcto, $F$ no necesita ser finito dimensionales más de $K$ sólo porque es finitely generado, ejemplo contrario sería trascendental de extensión.
Deje $T = \{u_1,\cdots,u_n\}$. WLOG, vamos a $A = \{u_1,\cdots,u_m\}\subset M$$B = \{u_{m+1},\cdots,u_n\}\cap M = \varnothing$. Que es la dividimos $T = A\cup B$ en dos conjuntos de $A$ $B$ donde $A$ contiene todos los $u_i\in M$ $B$ contiene el resto.
Desde $M\subset K(T)$, todos los elementos de a $M$ son en forma de $f(u_1,\cdots,u_n)$ donde $f\in K(x_1,\cdots,x_n)$, el campo de funciones racionales con coeficientes en $F$ $n$ variables.
Pero desde $M\cap B = \varnothing$, todos los elementos de a $M$ son en forma de $f(u_1,\cdots,u_m,0,\cdots,0)$, donde a partir de la posición $m+1$ $n$todos los $0$. Que todos los elementos de a $M$ son la forma de $f(u_1,\cdots,u_m)$ donde $f\in K(x_1,\cdots,x_m)$. Por lo tanto $M\subset K(u_1,\cdots,u_m)$.
También se $M\supset K(u_1,\cdots,u_m)$ porque $M\supset K$$M\supset A$. Que es $M = K(u_1,\cdots,u_m)$.
