A partir de un banco de exámenes:
Deje $u(x,y) = f(r)$ ser suave función en el avión, que depende sólo en $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. Calcular $\Delta u = u_{xx} + u_{yy}$ en términos de $f$ y sus derivados.
Wikipedia afirma que el operador de Laplace en coordenadas polares es$$\Delta f = \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2},$$, que supongo que me podría memorizar directamente, pero pensé que podría ser una manera más fácil.
Traté de probar esto directamente, por el pensamiento de que $$ u_{xx} = \frac{d^2f}{dr^2} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{df}{dr} \frac{\partial ^2r}{\partial x^2}$$ y $$ u_{yy} = \frac{d^2f}{dr^2} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{df}{dr} \frac{\partial ^2r}{\partial y^2}.$$ Pero entonces me quedo atascado en $$ u_{xx} + u_{yy} = \frac{d^2f}{dr^2} \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{df}{dr}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{d^2f}{dr^2} \frac{r(\cos \theta + \sin \theta)}{r} + \frac{df}{dr}\frac{1}{r}.$$ Any idea on where I'm going wrong? It looks like I need $\displaystyle{\frac{r(\cos \theta + \sin \theta)}{r} = 1}$.
