No es la prueba de una especie de "sigue tu nariz"? Deje $\Delta x$ ser distinto de cero, considere la posibilidad de
$$ \phi(x+\Delta x)-\phi(x) = \int^{b}_{a}f(x+\Delta x,t)-f(x,t)\,\mathrm{d}t$$
A continuación, construir el cociente
$$ \frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x)}{\Delta x} = \frac{\int^{b}_{a}f(x+\Delta x,t)-f(x,t)\,\mathrm{d}t}{\Delta x} $$
Pero debido a que no se integran más de $x$, tratamos $x$ como una constante. Así podemos reescribir la integral como
$$ \frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x)}{\Delta x} = \int^{b}_{a}\frac{f(x+\Delta x,t)-f(x,t)}{\Delta x}\,\mathrm{d}t $$
Tomando el límite cuando $\Delta x\to0$ nos da
$$ \frac{\mathrm{d}\phi(x)}{\mathrm{d} x} = \int^{b}_{a}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\,\mathrm{d}t $$
precisamente como desee? [Edit: podemos tomar el límite bajo el signo integral, como Giuseppe Negro señala, si la función de $f(x,t)$ es continuamente diferenciable en a $x$.]
Apéndice: ¿por Qué, oh, por qué, para qué necesitamos $f(x,t)$ continuamente diferenciable en a $x$?
¿Por qué tomar este límite? Bueno, hay un número de diferentes argumentos.
Uno es el teorema de convergencia Dominada, lo que indica que si tenemos una secuencia de funciones de $f_{n}(t)\to F(t)$ que está "dominado" por alguna función $g(t)$, lo que significa
$$ |f_{n}(t)|\leq g(t)\quad\mbox{for any }t $$
entonces tenemos
$$ \lim_{n\to\infty}\int|f_{n}(t)-F(t)|\,\mathrm{d}t=0 $$
lo que implica
$$ \lim_{n\to\infty}\int f_{n}(t)\,\mathrm{d}t=\int F(t)\,\mathrm{d}t. $$
Tome $F(t)=\partial f(x,t)/\partial x$ $f_{n}(t)$
$$ f_{n}(t) = \frac{f(x + \varepsilon_{n},t)-f(x,t)}{\varepsilon_{n}} $$
el uso de cualquier secuencia $\varepsilon_{n}\to 0$.
Anexo 2: Una segunda forma diferente comienza con la observación
$$ \int^{b}_{a}\int^{x}_{0}\frac{\partial f(y,t)}{\partial y}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t = \phi(x)-\phi(0)$$
por el teorema fundamental del cálculo. El teorema de Fubini nos permite cambiar el orden de integración
$$ \int^{x}_{0}\int^{b}_{a}\frac{\partial f(y,t)}{\partial y}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y = \phi(x)-\phi(0)$$
Entonces podemos usar la regla de Leibniz la diferenciación de ambos lados con respecto a $x$. Esto nos da el resultado deseado
$$ \int^{b}_{a}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\,\mathrm{d}t = \phi'(x).$$
Recordar la regla de Leibniz estados si $G(x) = \int^{x}_{0}g(y)\,\mathrm{d}y$
$$ G'(x) = g(x). $$
Podemos probar esto rápidamente por
$$ \frac{G(x+\Delta x)-G(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int^{x+\Delta x}_{x} g(y)\,\mathrm{d}y$$
y teniendo en $\Delta x$ a ser "suficientemente pequeño", podemos aproximar la suma de Riemann como
$$ \int^{x+\Delta x}_{x} g(y)\,\mathrm{d}y\approx g(c)\Delta x$$
donde $x\leq c\leq x+\Delta x$. Conectando de nuevo en nos da
$$ \frac{G(x+\Delta x)-G(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\left(g(c)\Delta x\right) = g(c)$$
Tomando $\Delta x\to 0$ nos da $c\to x$, y
$$ G'(x) = g(x)$$
como se desee.
