la cardinalidad de todas las secuencias real

Question

Me pregunto cuál es la cardinalidad del conjunto de todas las secuencias. Una búsqueda al azar a través de este sitio web dice que es igual a la cardinalidad de los números reales. Esto es muy sorprendente para mí, ya que la cardinalidad de todos racional de las secuencias es la misma que la cardinalidad de reales, y parecía bastante intuitivo para mí que si la cardinalidad de un conjunto $A$ es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de $B$, entonces la cardinalidad de a $A^{\mathbb{N}}$ debe ser estrictamente mayor que la cardinalidad de a $B^{\mathbb{N}}$. Resulta ser falsa.

Algunas respuestas técnicas han aparecido en este foro en otros lugares, pero no entiendo. Como no soy un experto en este tema, podría alguno me explique en términos sencillos, ¿por qué está pasando esto?

También es la cardinalidad de todas las funciones reales de reales también de la misma como la cardinalidad de reales?

Answer 1

Identificar las $\mathbb R$ como el conjunto de funciones de $f : \mathbb N \to \{ 0,1\} $.

A continuación, la secuencia de las $\{ x_n \}$ se convierte en una secuencia $\{f_n \}_n$ donde $f_n : \mathbb N \to \{ 0,1\}$. Pero entonces, esto es simplemente una función de $g : \mathbb N \times \mathbb N \to \{ 0,1\}$:

$$g(m,n) =f_n(m) \,.$$

De esta manera usted puede construir un bijection de las secuencias de los números reales para el conjunto de las funciones de $\mathbb N \times \mathbb N \to \{ 0,1\}$. Ahora, desde la $\mathbb N \times \mathbb N$ $\mathbb N$ tienen la misma cardinalidad, se obtiene un bijection de las secuencias de los números reales para el conjunto de las funciones de $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{ 0,1\}$, sólo $\mathbb R$.

Answer 2

Se le pidió una explicación en "términos simples," ¿por qué esto está sucediendo, lo que yo interpreto como una explicación intuitiva en lugar de una prueba formal, así que lo voy a dar.

Centrarse en los números de entre los $0$$1$. Tal número es determinado por una contables cantidad de información, es decir, los dígitos de su expansión decimal. Así, una secuencia de números entre el $0$ $1$ está determinado por una contables cantidad de información contable. Pero el contable de la unión de conjuntos contables es contable, por lo que este contables cantidad de información contable puede ser expresada por una contables cantidad de información, es decir, un contable número de dígitos. Esto puede ser utilizado para definir un único número real entre el $0$ $1$ que codifica la secuencia original.

Esta idea puede ser utilizado para dar una prueba formal. En cuanto a tu pregunta acerca de las funciones, ¿qué sabe usted sobre el conjunto de funciones de$\mathbb R$$\{0,1\}$?

Answer 3

Depende de si usted está hablando acerca de secuencias finitas, secuencias infinitas, o "innumerables secuencias". Aquí es un intento de darle un poco de intuición para el matemático territorio:

Si usted está hablando sobre el conjunto de todos los finita real secuencias, entonces tenemos el siguiente argumento: para cualquier $n$, la cardinalidad de a $\mathbb{R}^n$ es igual a la cardinalidad de a $\mathbb{R}$ (que voy a llamar a $c$ por conveniencia). Por lo tanto, el conjunto de secuencias finitas de una longitud dada es un conjunto de cardinalidad $c$. La cardinalidad de la arbitrariedad de la unión de los conjuntos de cardinalidad $c$ le da otro conjunto de cardinalidad $c$. Por lo tanto, el conjunto de todas las secuencias finitas es de cardinalidad $c$. El mismo argumento puede ser hecho con respecto a $\mathbb{Q}$ (que tiene cardinalidad $\aleph_0$)

La cardinalidad de secuencias infinitas, sin embargo, es una historia diferente. El Cantor del argumento nos dice que para cualquier conjunto a$S$,$\left| \wp(S) \right|>\left| S \right|$. Para cada subconjunto de los números racionales, hay una secuencia correspondiente en $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$. Los números reales, por otro lado, son innumerables, así que no hay secuencia infinita contendrá todos los elementos. Así que, como termina, $\left| \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \right| =\left| \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \right|= c$

Por último, tenemos el "innumerables secuencias", es decir, el conjunto de funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$, lo que hace tener una mayor cardinalidad. Aquí, podemos utilizar el argumento anterior de la siguiente manera: para cualquier subconjunto $S \subseteq \mathbb{R}$, podemos hacer un mapa de $S$ a una función $f(x)$ que $f(x)=0$ cualquier $x\in S$. Esto nos da una inyectiva mapa de $\wp(\mathbb{R})$ para el conjunto de las funciones de $\mathbb{R}$ a sí mismo. Por lo tanto, la cardinalidad del conjunto de funciones de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$es mayor que $c$.

Un poco agradable de cardenal aritmética para tener en su arsenal: para transfinito conjuntos de $P$$Q$: $$ \left| P^Q\right|=\max\{\left|P\right|,\left|\wp(Q)\right|\} $$ EDIT: no estoy seguro acerca de que la última fórmula, digamos que es una conjetura.

Answer 4

En términos simples, nuestro número-sentido de la intuición viene de tratar con conjuntos finitos, y tiene muy poco valor cuando se trata con conjuntos infinitos. Esta es la razón por la que un conjunto puede tener la misma cardinalidad como un subconjunto, y por qué $B^\mathbb{N}$ puede tener la misma cardinalidad como $A^\mathbb{N}$ incluso si uno es un subconjunto de la otra.

Answer 5

Deje $k,m$ ser infinito cardenales. Entonces

$$(2^k)^m = 2^{k \cdot m} = 2^{\max \{ k,m \}}.$$

Aquí he usado el axioma de elección en la segunda igualdad. El $\max$ no las causas de la no-estricto de la monotonía que le sorprendió.