Mejor la Notación de derivadas Parciales

Question

Estoy constantemente viendo preguntas aquí donde las personas están confundidas acerca de la notación $\frac {\partial f}{\partial x}$ o $\frac {\partial f}{\partial x} (x,y)$ o $\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}$. Hay algunos mejores notación que existe para las derivadas parciales? Si no, ¿puede alguien sugerir uno?

Los problemas con esta notación:

• Es la derivada evaluada en el punto de $(x,y)$ o es que parte de la definición de la función? Si se evalúa en el punto, entonces podemos realmente utilizar $x$ como el nombre del primer parámetro de la función? Si es sólo una parte de la definición de la función, ¿cómo especificar donde la función se evalúa? Y si dejamos fuera de la $(x,y)$, ¿cómo podemos saber que $x$ debe ser el primer parámetro, como se opuso a cualquier otra cosa?
• El mismo problema que $\frac {df}{dx}$ de las acciones, se parece a la división. Pero, por supuesto, $\frac {\partial f}{\partial x}$ no es tan simple como la división: es una abreviación de $\lim_{h\to 0} \frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$. Esto lleva a los estudiantes a pensar en que $\frac {\partial f}{\partial g}\frac {\partial g}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial x}$ y los otros "cancelaciones" hold. Sin embargo, un operador que se parece a la división no es enteramente una cosa mala, en la que se llega las unidades correctas cuando se hace un problema físico ... obviamente, esto es debido a que la definición no incluye una división, pero sólo como parte de un límite.
• Tipo de pequeñeces, sino $\frac {\partial^n f}{\partial x^n}$ ve muy extraño para mí. Y peor aún, podría ser confuso para algunos que ven el "denominador" como $\partial(x^2)$ en lugar de $(\partial x)^2$.

Otras notaciones incluyen $f_x$, $\partial_x f$, y $D_x f$. No me gustan $f_x$ debido a que se ve como un índice de la función a mí, no como $f$ está siendo operado por un operador diferencial. $\partial_x f$ $D_x f$ ven tanto como los operadores que actúan en $f$ pero no dicen de las unidades y llegar de nuevo a "¿podemos realmente utilizar $x$ a que se refieren el primer parámetro de $f$ fuera de la definición de $f$"?

¿Alguien sabe de una mejor notación? Nadie puede venir para arriba con uno?

Answer 1

En caso de duda,$(\partial_{1}f)(x,y)$, en función de $(x,y)$ cuyo valor en$(a,b)$$(\partial_{1}f)(a,b)$.
La multa por no hacerlo es tener a sus lectores rasca la cabeza sobre el$$\frac {\partial f}{\partial x } (y,x) \quad ??$$ You can then iterate: define $\partial_{12}f=\partial_{1}(\partial_{2}f)$, etc.
Un agradable resultado es que, por dos veces continuamente derivable la función $\partial_{12}f=\partial_{21}f$, de modo que la convención subyacente en el orden en que se toman las derivadas parciales no importa: algunos autores definen $\partial_{12}f=\partial_{2}(\partial_{1}f)$ .