Límite de un espacio métrico

Question

¿Tiene sentido hablar acerca de los límites de un espacio métrico, no de subconjunto?

Por ejemplo, si $E$ es la métrica del espacio que consiste en el intervalo cerrado $ [ 0,1] $ con la métrica usual de $\mathbb{R}$, entonces es $ \{0,1 \}$ el límite de puntos de $E$?

Tengo un poco de no pensar, desde un punto límite de un conjunto a se define como el punto donde cualquier vecindad de dicho punto contener algún momento en Una y en algún momento no en A. Pero en mi ejemplo anterior, cualquier barrio de el punto de $0$ $1$ sólo contienen el punto en $E$.

Soy nuevo en la topología así que ¿alguien puede aclararme acerca de esto? muchas gracias.

Actualización: Gracias a ustedes por todo su respuesta, realmente ayuda mucho. Así que permítanme decir lo que yo entiendo sobre el colector y pueden ustedes me corrigen si estoy equivocado??

Yo no sé mucho sobre el colector general, pero sólo sé Euclidiana colector a través del texto de Munkres del Análisis en el Colector.
Cuando decimos que una 1-variedad en $\mathbb{R^3}$, nos referimos a una curva continua en $\mathbb{R^3}$, ¿es correcto?

deje que esta curva se define por $f:[0,1] \to \mathbb{R^3}$, e $f$ es un homeomorphism, a continuación, por lo que los chicos de estado de los puntos de $ x_1 = f(0) $ sería un punto límite, ya que para cualquier vecindario $U$$x_1$, hay un barrio de el punto de $0$ que está abierto en $ \mathbb{H^1}= \{x \in \mathbb{R}: x \geq 0 \}$ que se asigna homeomorphismly a $U$.

Es eso correcto? gracias por todos tus aportes.

Answer 1

Su "un poco creo que no" es correcto, pero también lo es la intuición de que la unidad de intervalo debe tener los puntos de $0$ $1$ sobre sus límites.

La estructura que queremos hacer de esta idea de trabajo es un colector. Es un espacio métrico, además de algunas otras cosas que la hace parecerse a una parte de la $\mathbb{R}^n$ sin necesariamente ser incrustado allí.

El "manifold con frontera" de los párrafos en esta página de la wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Manifold#Manifold_with_boundary describa lo que usted necesita.

Answer 2

Claramente si consideramos que el $E$ como incrustado en $\mathbb{R}$, entonces tiene un límite. Pero a partir de sus comentarios, supongo que usted con respecto a $E$ no incrustados.

En ese caso, es trivial que $E$ es abierto y cerrado y, por tanto, no tiene límites (dadas las definiciones usuales - hay un buen artículo de Wikipedia sobre el detalle).

Pero si usted está interesado en el concepto intuitivo de límite como "estar en la periferia", en lugar de la habitual de la definición, entonces usted todavía puede definir los límites en los términos de la orden total heredado de $\mathbb{R}$. En otras palabras, se toma el límite para ser puntos de $x\in E$ tal que no existen puntos de $x',x''$ $x'<x<x''$ donde $<$ es el orden heredado de $\mathbb{R}$ (y los puntos donde $x',x''$ existen son los puntos del interior).

Por supuesto, depende de lo que su intuitiva es una idea. Si lo consideramos como la separación de $E$ de los no$E$, entonces es difícil ver cómo $E$ puede tener un límite, y así la definición habitual da el resultado que usted desea.

Tenga en cuenta que este enfoque de la utilización de una herencia fin de no generalizar bien a las dimensiones superiores. Si desea generalizar la idea de "estar en la periferia" para otros casos como el de subconjuntos de a $\mathbb{R}^2$, entonces usted es mejor el uso de la maquinaria de manifold con frontera (también trataron bien en la Wikipedia). Véase también la respuesta de @EthanBolker .