¿Qué sucede después de la cardinalidad $\mathfrak{c}$?

Question

Mientras que tener la teoría de la medida este año, vino a mi mente:

• Cuando vamos de objetos limitados a infinito nos "pierde" un montón de propiedades. Por ejemplo la suma no está bien definido ya, cuando la suma no convergen, y las operaciones de que son abelian en el caso finito no abelian en el caso infinito (pensar condicional convergente la serie).
• Cuando vamos de contables a innumerables tenemos cosas como que demasiado. Las medidas son las que más tiempo contables aditivo, pero no incontable aditivo (al menos en la medida de lebesgue). Sumas de multitud de indexación establece sólo pueden converger en realidad lo que están contables (lo que significa que casi todos son 0).

Así que mi pregunta es después de que Arthur Comentarios ligeramente reformulado

¿Qué pasa cuando se va de la cardinalidad $\mathfrak{c}$ a un mayor cardinalidad? Hay más pasos intermedios, lo que significa tener una cardinalidad estrictamente mayor que $\mathfrak{c}$, pero no "a la grande"?

Answer 1

Permítanme compartir un pequeño pedazo de mi filosófica sobre el incontable. Que en realidad no puede responder a su pregunta, pero en una forma que lo hace.

La matemática es creado por los seres humanos. Los seres humanos son esencialmente seres finitos, y se comunican en un número finito de la materia. Esto es por qué las cosas en finitos de la intuición, que es la principal causa de la confusión cuando las personas comienzan a tratar con conjuntos infinitos.

Contables conjuntos son conjuntos que pueden ser enumerados, y de forma aproximada finito significa. Esta es exactamente la idea detrás de Cauchy de la definición del límite (y más aún si sólo hacemos uso de los números racionales). Podemos enumerar los números racionales, por ejemplo, en una manera que es lo que nos asegura que cada número se reunieron en un número finito de etapas.

Por esta razón divisibilidad es una propiedad útil. Nos permite aproximado de cada elemento del espacio utilizando contables de los medios. Esto es visible en el espacio métrico más de lo que es en la no-metrizable espacios, pero sigue siendo cierto. Esa es la idea detrás de divisibilidad. Así que, en cierto sentido, se puede tener una multitud innumerable, pero podemos aproximar mediante su estructura y finito significa.

Pero la multitud, la verdad incontables, no es descriptible por tales medios. Es demasiado grande para nosotros asegurarnos de que finito aproximaciones, eventualmente, puede tragar el conjunto entero. No podemos describir sus segmentos inicial en un número finito de moda. Ni siquiera podemos asegurar que se puede ordenar el conjunto muy bien. Esta es la razón por la que el axioma de elección es tan importante para nosotros en la era moderna de las matemáticas. Tratamos con objetos abstractos y por lo general, no suponen mucho limitaciones en su tamaño (aunque se suele cuidar de objetos muy pequeños), y el axioma de elección nos da los medios razonables para controlar su tamaño y estructura.

Pero los innumerables todavía es incontable. Tenga en cuenta que incluso si asumimos que $2^{\aleph_0}=\aleph_2$, sin más suposiciones tales como Martin Axioma, entonces no sabemos lo que está pasando en el $\aleph_1$ nivel. Todo lo que sabemos es que podemos encontrar un subconjunto de los números reales que tiene esta cardinalidad. Esta es la razón por la hipótesis continua - en mi opinión - es improbable. La incontable de hecho es demasiado grande para nosotros comprender (y gestionar en su totalidad) el uso de nuestro esencialmente finito significa.

Entonces, ¿qué sucede más allá de la continuidad? Un montón que no podemos obtener un buen agarre. El Lowenheim-Skolem teorema nos dice que, dado un primer orden de la estructura que tiene una infinita modelo, tiene un infinito modelo de cada cardinalidad. Esto significa que todo lo que sucede en una cardinalidad infinita que sucede en los demás, al menos de primer orden-sabio (por ejemplo, no hay muchos campos de Arquímedes, pero no son reales-campos cerrados). Así que tenemos un montón de campos, anillos, medida de álgebras, espacios de Banach, conjuntos ordenados, y así sucesivamente.

¿Qué propiedades tienen? La respuesta depende a menudo del conjunto teórico de la hipótesis ahora. Mucho como muchas cosas en la contable nivel puede fallar sin algún axioma de elección (que asegura la transición de finito contables es suave), muchos más pueden fallar a las incontables nivel. Supuestos tales como $\lozenge_\kappa$, el Axioma de Martin, el cardenal aritmética (por ejemplo,$\kappa^{<\kappa}=\kappa$), y muchos más conjunto de supuestos teóricos que puedan informarle sobre el comportamiento de los objetos muy grandes, pero usted necesita saber acerca de ellos en primer lugar.

Answer 2

Espero responder a tu pregunta aquí.

En primer lugar, el problema con condicionalmente convergente la serie es bien conocida. En un sentido, podemos considerar estas series divergen. La suma es altamente sensible a la orden de la suma y, además, la serie puede reordenarse para dar suma alguna en absoluto. Ese no es el tipo de comportamiento que se esperan de un convergentes objeto. En la teoría de la integración no es un problema similar. La integral de la $\int_{i\infty }^\infty \sin(x)$ no existe, aunque, en cierto sentido, se puede argumentar a ser $0$. Por otra parte, cortando el intervalo de $(-\infty ,\infty)$ a los lugares adecuados, la integral puede ser calculada " por la división de la integral como una suma de integrales tener cualquier valor que desee. Esta es la razón por la frecuencia en la integración de la teoría de la función cuyo valor absoluto no es integrable no se considera integrable.

Para formalizar un poco las cosas, me voy a concentrar en la siguiente propiedad, expresado en $\mathbb R$ y generalizado. Dado un conjunto de no-números reales negativos.$S\subseteq [0,\infty ]$, su suma se define como el supremum de la set $\{s_1+\cdots s_k\mid k>0, s_i\in S\}$. Este definiciones de acuerdo con la definición común de la suma de una serie de no-elementos negativos. (Si permitimos $S\subseteq [-\infty , \infty ]$, $S$ tendrá una suma iff es contable y los elementos que dan lugar a una absolutamente convergente la serie histórica comentario: este es esencialmente cómo Bolzano definido infinito sumas).) Ahora, es fácil demostrar que si la cardinalidad de a $S$ es mayor que $\aleph_0$, entonces la suma es $\infty $. Esta es una propiedad de la no-negativos reales $[0,\infty ]$ considera como una red compatible con un además. Esta es la razón por la que en teoría de la medida sólo contables aditividad es entretenido.

Ahora, en otras celosías esta restricción de cardinalidad sobre las sumas no necesita tener. Es decir, considerar un entramado $V$ con una noción de adición que es compatible (en cualquier forma razonable) con la estructura de la red (una exigencia común es que además distribuye sobre arbitraria une y/o cumple). Para un subconjunto $S\subseteq V$ uno puede definido su suma en $V$ como el supremum en $V$ de la misma conjunto de las sumas derivadas de $S$ anterior. En una arbitraria de celosía no es el caso de la suma se $\infty $, es decir, el elemento de la parte superior de la red, si la cardinalidad de a $S$ es mayor que $\aleph_0$. Es fácil construir artificial ejemplos que muestran que. Estoy seguro de que hay más situaciones prácticas donde sucede esto, pero yo no puedo pensar en nadie ahora mismo.

Esto resultó ser un lugar de respuesta larga, así que ahora espero que aún más que abordar al menos de lo que pedían.